mathematica.gr


https://www.mathematica.gr/forum/

Πότε διέρχεται από το έγκεντρο;

https://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?t=45381

Σελίδα 1 από 1

Πότε διέρχεται από το έγκεντρο;

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Ιούλ 19, 2014 3:37 pm
από Al.Koutsouridis
Έστω μή ισοσκελές τρίγωνο ABC ( AB < BC). Στις πλευρές AB , BC επιλέγουμε τα σημεία D, E αντίστοιχα.
Να αποδείξετε ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος του BDE διέρχεται από το κέντρο I του εγγεγραμμένου κύκλου του ABC
αν και μόνο αν AD+CE = AC.

Re: Πότε διέρχεται από το έγκεντρο?

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Ιούλ 19, 2014 5:36 pm
από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Al.Koutsouridis έγραψε:Έστω μή ισοσκελές τρίγωνο ABC ( AB < BC). Στις πλευρές AB , BC επιλέγουμε τα σημεία D, E αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος του BDE διέρχεται από το κέντρο I του εγγεγραμμένου κύκλου του ABC αν και μόνο αν AD+CE = AC.
Αν Z \in AC:\left( {AZ} \right) = \left( {AD} \right)\mathop \Rightarrow \limits^{\left( {AC} \right) = \left( {AD} \right) + \left( {CE} \right)} \left( {CZ} \right) = \left( {CE} \right) \Rightarrow I το περίκεντρο του τριγώνου

\vartriangle DEZ \Rightarrow \angle DIE = 2\left( {DZE} \right) = 2\left( {\dfrac{{\angle A}}{2} + \dfrac{{\angle C}}{2}} \right) = {180^0} - \angle B \Rightarrow B,E,I,D ομοκυκλικά και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης

Re: Πότε διέρχεται από το έγκεντρο?

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Ιούλ 19, 2014 5:59 pm
από george visvikis
Al.Koutsouridis έγραψε:Έστω μή ισοσκελές τρίγωνο ABC ( AB < BC). Στις πλευρές AB , BC επιλέγουμε τα σημεία D, E αντίστοιχα.
Να αποδείξετε ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος του BDE διέρχεται από το κέντρο I του εγγεγραμμένου κύκλου του ABC
αν και μόνο αν AD+CE = AC.
Καλησπέρα.

● Έστω ότι το έγκεντρο I του τριγώνου ABC είναι σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου BDE. Από το εγγεγραμμένο τετράπλευρο BEID και το γεγονός ότι η BI διχοτομεί τη γωνία \widehat B, προκύπτει ότι \boxed{ID=IE}.

Πάνω στην AC παίρνω τμήμα AF=AD, οπότε η AI ως διχοτόμος είναι μεσοκάθετος του DF.Άρα θα είναι και ID=IF. Δηλαδή, IE=ID=IF. που σημαίνει ότι το σημείο I είναι το περίκεντρο του τριγώνου DFE.
Επομένως η IC είναι μεσοκάθετος της EF, άρα CE=CF.

Οπότε: \boxed{AC=AF+FC=AD+CE}

Πότε διέρχεται από το έγκεντρο;.png
Πότε διέρχεται από το έγκεντρο;.png (17.16 KiB) Προβλήθηκε 1081 φορές
● Έστω τώρα ότι AD+CE = AC και ότι η διχοτόμος της γωνίας \widehat C τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου BDE στο σημείο I. Θα δείξω ότι το I είναι το έγκεντρο του τριγώνου ABC.
Πότε διέρχεται από το έγκεντρο;.2.png
Πότε διέρχεται από το έγκεντρο;.2.png (17.01 KiB) Προβλήθηκε 1081 φορές
Είναι AD=AF, CE=CF και η CI μεσοκάθετος της CF.

Από το εγγεγραμμένο τετράπλευρο BEID και από το ισοσκελές τρίγωνο CEF έχουμε ότι: \displaystyle{B\widehat DI = I\widehat EC = I\widehat FC} κι επειδή \displaystyle{D\widehat FA = F\widehat DA \Leftrightarrow I\widehat DF = I\widehat FD}

Άρα ID=IF, δηλαδή η AI είναι μεσοκάθετος της DF οπότε διχοτομεί τη \widehat A και το I είναι το έγκεντρο του τριγώνου ABC.

Re: Πότε διέρχεται από το έγκεντρο?

Δημοσιεύτηκε: Δευ Αύγ 04, 2014 6:36 pm
από Ηλιας Φραγκάκος
ΛΥΣΗ ΤΟΥ ΚΥΡΙΑΚΟΥ ΦΡΑΓΚΑΚΟΥ
Παίρνει ένα τυχαίο σημείο T επί της AC. Με το διαβήτη ορίζει τα D και E στις AB και AC , αντίστοιχα. Άρα πετυχαίνει την προϋπόθεση AD+EC=AC. Οι μεσοκάθετες των τμημάτων DT και ET τέμνονται στο I. Oι γωνίες ITC και IEC είναι ίσες. Έστω, π. Οι παραπληρωματικές τους, δεν μπορεί παρά να είναι ίσες κι αυτές. Έστω ρ, ώστε π και ρ να μας κάνει 180 μοίρες. Έτσι, επειδή γ. ADI είναι ίση με γ. ATI, πρέπει και η γ. ADI να είναι ίση με ρ. Άρα, και η παραπληρωματική της είναι π. Άρα το 4πλευρο DIEB είναι εγγράψιμο. Αν κάποιος βρει λάθος στη λύση, να το πει.
Όλοι οι χρόνοι είναι UTC+02:00
Σελίδα 1 από 1

Δημιουργήθηκε από phpBB® Forum Software © phpBB Limited


Ελληνική μετάφραση από το phpbbgr.com