mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιούλ 31, 2014 1:44 pm**

Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{ x =\sqrt{ x-\frac{1}{x}}+\sqrt{ 1-\frac{1}{x}} }$

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιούλ 31, 2014 8:04 pm**

Απο την δοσμένη έουμε $x\geq 1$

οπότε:

$x=\sqrt{x-\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}\Leftrightarrow \Leftrightarrow x\sqrt{x}=\sqrt{x^2-1}+\sqrt{x-1} \Leftrightarrow \Leftrightarrow x\sqrt{x}=\sqrt{x-1}(\sqrt{x+1}+1)\Leftrightarrow \Leftrightarrow x\sqrt{x}(\sqrt{x+1}-1)=\sqrt{x-1}(\sqrt{x+1}+1)(\sqrt{x+1}-1)\Leftrightarrow \Leftrightarrow \sqrt{x^2+x}=\sqrt{x}+\sqrt{x-1}\Leftrightarrow \Leftrightarrow x^2-x-2\sqrt{x^2-x}+1=0\Leftrightarrow \Leftrightarrow (\sqrt{x^2-x}-1)=0\Leftrightarrow \Leftrightarrow x^2-x-1=0\Leftrightarrow \Leftrightarrow x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Αύγ 04, 2014 8:40 pm**

Πηγή:
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 7&t=586450

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Αύγ 04, 2014 9:03 pm**

Για $x \geqslant 1$ έχουμε:
$x = \sqrt {x - \frac{1}{x}} + \sqrt {1 - \frac{1}{x}} \Rightarrow x\left( {\sqrt {x - \frac{1}{x}} - \sqrt {1 - \frac{1}{x}} } \right) = x - 1 \Rightarrow$

$\sqrt {x - \frac{1}{x}} - \sqrt {1 - \frac{1}{x}} = 1 - \frac{1}{x}$
Άρα
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt {x - \frac{1}{x}} - \sqrt {1 - \frac{1}{x}} = 1 - \frac{1}{x}} \\ {\sqrt {x - \frac{1}{x}} + \sqrt {1 - \frac{1}{x}} = x} \end{array}} \right.\mathop \Rightarrow \limits^{\left( + \right)} 2\sqrt {x - \frac{1}{x}} = x - \frac{1}{x} + 1 \Rightarrow$

${\left( {\sqrt {x - \frac{1}{x}} - 1} \right)^2} = 0 \Rightarrow x = \frac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}$ με δεκτή μόνο την $x = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}$

mathematica.gr

Άρρητα ρήματα 8

Άρρητα ρήματα 8

Re: Άρρητα ρήματα 8

Re: Άρρητα ρήματα 8

Re: Άρρητα ρήματα 8