mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιούλ 31, 2014 2:33 pm**

Να λυθεί η εξίσωση $\sqrt{1-x}+\sqrt{3+x}= x+1$

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιούλ 31, 2014 3:23 pm**

$a=\sqrt{1-x}$

$b=\sqrt{x+3}$

$a+b=\frac{b^2-a^2}{2}$ (1)
a^2+b^2=4

(2)

$x \in [-1,1]$

(1)

b-a=2

$\Rightarrow (b-a)^2+2ab=4 \Rightarrow x=1$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Αύγ 04, 2014 8:24 pm**

Πηγή:
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=413469

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Αύγ 04, 2014 8:33 pm**

Μια άλλη λύση είναι και η εξής:
Για $x \in \left[ { - 3,1} \right]$ έχουμε:
$\sqrt {1 - x} + \sqrt {3 + x} = x + 1 \Rightarrow$

$1 - x - 3 - x = \left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt {1 - x} - \sqrt {3 + x} } \right) \Rightarrow$

$- 2\left( {x + 1} \right) = \left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt {1 - x} - \sqrt {3 + x} } \right) \Rightarrow$

$x = - 1 \vee \sqrt {1 - x} - \sqrt {3 + x} = - 2$
Η x = - 1

απορρίπτεται (δεν επαληθεύει) οπότε
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt {1 - x} + \sqrt {3 + x} = x + 1} \\ {\sqrt {1 - x} - \sqrt {3 + x} = - 2} \end{array}} \right.\mathop \Rightarrow \limits^{\left( + \right)} 2\sqrt {1 - x} = x - 1 \Rightarrow$

$\sqrt {1 - x} \left( {2 + \sqrt {1 - x} } \right) = 0 \Rightarrow x = 1$ που είναι δεκτή (επαληθεύει).

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Αύγ 04, 2014 8:35 pm**

Πολύ ωραία Βασίλη!

mathematica.gr

Άρρητα ρήματα 12

Άρρητα ρήματα 12

Re: Άρρητα ρήματα 12

Re: Άρρητα ρήματα 12

Re: Άρρητα ρήματα 12

Re: Άρρητα ρήματα 12