mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Αύγ 03, 2014 4:26 pm**

Να λύσετε την εξίσωση $1 + \frac{2}{3}\sqrt {x - {x^2}} = \sqrt x + \sqrt {1 - x}$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Αύγ 03, 2014 5:47 pm**

Η εξίσωση ορίζεται αν $\displaystyle{x \in \left[ {0,1} \right]}$

$\displaystyle{ 1 + \frac{2}{3}\sqrt {x - x^2 } = \sqrt x + \sqrt {1 - x} \Leftrightarrow 3 + 2\sqrt x \sqrt {1 - x} = 3\left( {\sqrt x + \sqrt {1 - x} } \right)}$

$\displaystyle{ \Leftrightarrow 1 + 2\sqrt x \sqrt {1 - x} + 2 = 3\left( {\sqrt x + \sqrt {1 - x} } \right) \Leftrightarrow \left( {\sqrt x + \sqrt {1 - x} } \right)^2 - 3\left( {\sqrt x + \sqrt {1 - x} } \right) + 2 = 0}$

$\displaystyle{ \Leftrightarrow \sqrt x + \sqrt {1 - x} = 1\,\,\,\, \vee \,\,\,\,\sqrt x + \sqrt {1 - x} = 2 \Leftrightarrow \left( {\sqrt x + \sqrt {1 - x} = \sqrt {x + (1 - x)} } \right)\,\,\,\,\, \vee \,\,\,\left( {\sqrt x = 1\,\,\,\, \wedge \sqrt {1 - x} = 1} \right) }$

$\displaystyle{ \Leftrightarrow \left( {\sqrt x = 0\,\,\,\, \vee \sqrt {1 - x} = 0} \right)\,\,\,\, \vee \underbrace {\left( {x = 1\,\,\, \wedge \,\,\,\,\,x = 0} \right)}_{\alpha \delta \upsilon \nu \alpha \tau o} \Leftrightarrow x = 0\,\,\,\, \vee \,\,\,\,x = 1 }$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Αύγ 03, 2014 7:49 pm**

Γιώργο πολύ ωραία λύση

η δική μου έχει ως εξής: $a = \sqrt x \wedge 1 + \frac{2}{3}a\sqrt {1 - {a^2}} = a + \sqrt {1 - {a^2}} \Rightarrow a = 0 \vee 1...$ την οποία δεν θεωρώ εφάμιλλη της δικής σου και δεν την παραθέτω.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Αύγ 07, 2014 4:35 pm**

Κάπως αλλιώς.

Η εξίσωση ορίζεται όταν $\displaystyle{ \,\,\,x \in [\,0\,,\,1\,]\,\,\, }$

Θέτω $\displaystyle{ \,\,\,\,a = \sqrt {\,x\,} \,\,,\,\,\,b = \sqrt {\,1 - x\,} \,\,\,\, }$ οπότε $\displaystyle{ \,\,\,a^2 + b^2 = 1\,\,\,\,\,(1)\,\, }$

Η εξίσωση γράφεται τώρα

$\displaystyle{ \begin{array}{l} \,\,\,1\,\, + \,\,\,\frac{2}{3}\,\,\,ab = \,\,a + b\,\,,\,\,\,\,\,a \ge 0,b \ge 0\,\, \\ \\ \,1 + \frac{4}{3}ab + \frac{4}{9}a^2 b^2 = a^2 + 2ab + b^2 \mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)} - \frac{2}{3}ab + \frac{4}{9}a^2 b^2 = 0 \\ \\ \, \Leftrightarrow a = 0\,\,\,\, \vee \,\,\,b = 0\,\,\,\, \vee \,\,\,\,ab = \frac{3}{2}\,\, \\ \\ \,x = 0\,\,\,\,\, \vee \,\,\,\,x = 1\,\,\,\, \vee \,\,\,x - x^2 = \frac{9}{4}\,\,(\pi o\upsilon \,\,\varepsilon \iota \nu \alpha \iota \,\,\alpha \delta \upsilon \nu \alpha \tau \eta ) \\ \end{array} }$
Άρα τελικά

$\displaystyle{ \,\,\chi = 0\,\,\, \vee \,\,\chi = 1\,\,\, }$

mathematica.gr

Άρρητη εξίσωση 35

Άρρητη εξίσωση 35

Re: Άρρητη εξίσωση 35

Re: Άρρητη εξίσωση 35

Re: Άρρητη εξίσωση 35