mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Αύγ 03, 2014 5:09 pm**

Να λύσετε την εξίσωση $\sqrt[4]{{{x^3}}} + \sqrt[4]{{{x^2}\left( {1 - x} \right)}} + \sqrt {1 - x} = \sqrt[4]{{{{\left( {1 - x} \right)}^3}}} + \sqrt[4]{{x{{\left( {1 - x} \right)}^2}}} + \sqrt x$
Πηγή 33-37

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Αύγ 03, 2014 6:07 pm**

$\sqrt[4]{{{x^3}}} + \sqrt[4]{{{x^2}\left( {1 - x} \right)}} + \sqrt {1 - x} = \sqrt[4]{{{{\left( {1 - x} \right)}^3}}} + \sqrt[4]{{x{{\left( {1 - x} \right)}^2}}} + \sqrt x$ $:\left( 1 \right)\,\,\,,0 \le x \le 1$ .
Θέτουμε $a = \sqrt[4]{x},b = \sqrt[4]{{1 - x}}$ ,οπότε έχουμε
$\left( 1 \right) \Leftrightarrow {a^3} + {a^2}b + {b^2} = {b^3} + {b^2}a + {a^2} \Leftrightarrow$ $\left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right) + ab\left( {a - b} \right) - \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right) = 0 \Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow \left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2} + ab - a - b} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {a - b = 0 \vee {{\left( {a + b} \right)}^2} - \left( {a + b} \right) = 0} \right)$ $\Leftrightarrow \left( {a = b \vee \left( {a + b} \right)\left( {a + b - 1} \right) = 0} \right) \Leftrightarrow$

$\mathop \Leftrightarrow \limits^{\left( {a + b \ne 0} \right)} \left( {a = b \vee a + b - 1 = 0} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 0 \le x \le 1\\ \left( {\sqrt[4]{x} = \sqrt[4]{{1 - x}} \vee \sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{{1 - x}} = 1} \right) \end{array} \right.\mathop \Leftrightarrow \limits^{\left( { * * } \right)}$ $\left\{ \begin{array}{l} 0 \le x \le 1\\ \left( {x = 1 - x \vee x = 0 \vee x = 1} \right) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left( {x = \frac{1}{2} \vee x = 0 \vee x = 1} \right)$
${\left( { * * } \right)}$ Οι αριθμοί ${x_1} = 0,{x_2} = 1$ είναι φανερό ότι είναι ρίζες της εξίσωσης $\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{{1 - x}} = 1:\left( 2 \right)$ και η εξίσωση $\left( 2 \right)$ δεν έχει άλλη ρίζα ,αφού για κάθε $x \in \left( {0,1} \right)$ ισχύει
$\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{{1 - x}}\mathop > \limits^{\left( {\sqrt[4]{x},\sqrt[4]{{1 - x}} \in \left( {0,1} \right)} \right)} {\left( {\sqrt[4]{x}} \right)^4} + {\left( {\sqrt[4]{{1 - x}}} \right)^4} = x + 1 - x = 1$
Ν.Ζ.

mathematica.gr

Άρρητη εξίσωση 37

Άρρητη εξίσωση 37

Re: Άρρητη εξίσωση 37