mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Αύγ 17, 2014 11:22 pm**

: gonia_5.png (6.35 KiB) Προβλήθηκε 1314 φορές

Δίνονται ορθή γωνία $\widehat {xO\psi }$ , σημείο

της $O\psi$ και τα σημεία $A,{\rm B},\Gamma$ της

(ώστε $OA < O\Gamma$ ).

Ονομάζουμε $MA = \alpha$ , ${\rm M}{\rm B} = \beta$ , ${\rm M}\Gamma = \gamma$ . Αν $2\beta = \alpha + \gamma$ να δειχτεί ότι ${\rm A}{\rm B} > {\rm B}\Gamma$ .

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Αύγ 18, 2014 3:56 pm**

Μια προσπάθεια..

Είναι:

$\displaystyle{ \begin{array}{l} \,\,{\rm O}{\rm A} \prec {\rm O}\Gamma \Rightarrow \alpha \prec \gamma \,\,(1)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \\ \\ \,\,(1) \Rightarrow 2\alpha \prec \alpha + \gamma \prec 2\gamma \mathop \Rightarrow \limits^{\beta = \frac{{\alpha + \gamma }}{2}} \alpha \prec \beta \prec \gamma \,\,\,(2) \\ \\ \,\,(2)\,\, \Rightarrow \,\,\,{\rm O}{\rm A} \prec \,\,\,{\rm O}{\rm B} \prec \,\,\,{\rm O}\Gamma \,\,\,(3) \\ \end{array} }$

άρα $\displaystyle{ \,\,{\rm B}\,\, }$ εσωτερικό του τμήματος $\displaystyle{ \,\,{\rm A}\Gamma \,\, }$

Έστω $\displaystyle{ \,\,{\rm K}\,\, }$ μέσο του $\displaystyle{ \,\,{\rm A}\Gamma \, }$ τότε είναι γνωστό πως $\displaystyle{ \,\,{\rm M}{\rm K} \prec \frac{{\alpha + \gamma }}{2} \Rightarrow {\rm M}{\rm K} \prec \beta \,\, }$

άρα $\displaystyle{ \,\,{\rm O}{\rm K} \prec {\rm O}{\rm B} \Rightarrow \,{\rm O}{\rm A} + {\rm A}{\rm K} \prec {\rm O}{\rm A} + {\rm A}{\rm B} \Rightarrow {\rm A}{\rm K} \prec {\rm A}{\rm B}\,\,\,(5)\,\, }$

συνεπώς $\displaystyle{ \,\,{\rm B}\, }$ εσωτερικό σημείο του $\displaystyle{ \,{\rm K}\Gamma \,\, }$ επομένως $\displaystyle{ \,\,{\rm B}\Gamma \prec {\rm K}\Gamma = {\rm K}{\rm A} \prec {\rm A}{\rm B}\,\, }$

δηλαδή $\displaystyle{ \,\,{\rm A}{\rm B} \succ {\rm B}\Gamma \,\, }$

mathematica.gr

Ορθή γωνία

Ορθή γωνία

Re: Ορθή γωνία