Ευκολότερη εκδοχή...
Δημοσιεύτηκε: Τετ Σεπ 10, 2014 4:22 pm
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις 
τέτοιες ώστε 
για κάθε 
τέτοιες ώστε για κάθε Θέτουμε
οπότε προκύπτει 
. Η προηγούμενη σχέση μας εξαφαλίζει πως ισχύει 
. Αρκεί λοιπόν να δείξουμε πως
. Για 
από την αρχική σχέση προκύπτει 
. Όμως η παράσταση 
μπορεί, για τις διάφορες τιμές του 
, να λάβει οποιαδήποτε πραγματική τιμή. Συνεπώς προκύπτει πως . Άρα με βάση την
είναι 
.
παίρνουμε ![\displaystyle{
\,\,f\,[\,f(y)\,\,] = \,\,f(y)\,\,\,\,\forall y \in \Re \,\,\,\,\,(1)\,\,
}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/cd3aabeb6ea6c1188b4e3fa6afce5136.png "\displaystyle{
\,\,f\,[\,f(y)\,\,] = \,\,f(y)\,\,\,\,\forall y \in \Re \,\,\,\,\,(1)\,\,
}")
παίρνουμε ![\displaystyle{
\,f\,[\,\,x + f\,(\,x\,)\,\,\,]\,\,\, = \,\,2\,x\,\, + \,\,f(\,0\,)\,\,\,\,\,\,\forall x \in \Re \,\,
}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/31c899f0ef570f34539eab44e90dea63.png "\displaystyle{
\,f\,[\,\,x + f\,(\,x\,)\,\,\,]\,\,\, = \,\,2\,x\,\, + \,\,f(\,0\,)\,\,\,\,\,\,\forall x \in \Re \,\,
}")
για 
παίρνουμε ![\displaystyle{
\begin{array}{l}
\,f\,\,[\,\,\,f\,(\,x\,\, + \,\,f(\,x\,)\,)\,\,\,]\, = f(\,\,x\,\, + f(\,x\,)\,\,\,)\,\,\mathop \Leftrightarrow \limits^{(\,2\,)} \,\, \\
\\
f\,(\,\,2\,x\,\, + \,\,f(\,0\,)\,\,) = \,\,\,\,2\,x + f\,(\,0\,)\,\,\,\,\, \\
\\
f\,[\,\,g(x)\,\,]\, = \,\,\,g\,(\,x\,)\,\,\,\forall x \in \Re \,\,\,\,\,(3)\,\,,\,\,.....\,g(x) = 2x + f(0)\,\,\, \\
\end{array}
}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/bce41f4f9c987488288140e9087b3f83.png "\displaystyle{
\begin{array}{l}
\,f\,\,[\,\,\,f\,(\,x\,\, + \,\,f(\,x\,)\,)\,\,\,]\, = f(\,\,x\,\, + f(\,x\,)\,\,\,)\,\,\mathop \Leftrightarrow \limits^{(\,2\,)} \,\, \\
\\
f\,(\,\,2\,x\,\, + \,\,f(\,0\,)\,\,) = \,\,\,\,2\,x + f\,(\,0\,)\,\,\,\,\, \\
\\
f\,[\,\,g(x)\,\,]\, = \,\,\,g\,(\,x\,)\,\,\,\forall x \in \Re \,\,\,\,\,(3)\,\,,\,\,.....\,g(x) = 2x + f(0)\,\,\, \\
\end{array}
}")
είναι συνεχής και 
ενώ
για 
δίνει : ![\displaystyle{
\,\,\,\,f\,\,[\,\,g\,(\,\,g^{ - 1} (y)\,\,\,)\,\,]\, = g\,(\,\,\,g^{ - 1} (\,y\,)\,\,\,) \Leftrightarrow \,\,f(\,y\,)\,\, = \,y\,\,\,\,\,\,\forall y \in \Re \,\,\,
}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/3caf0c843745910f78c89ff1f8bcac71.png "\displaystyle{
\,\,\,\,f\,\,[\,\,g\,(\,\,g^{ - 1} (y)\,\,\,)\,\,]\, = g\,(\,\,\,g^{ - 1} (\,y\,)\,\,\,) \Leftrightarrow \,\,f(\,y\,)\,\, = \,y\,\,\,\,\,\,\forall y \in \Re \,\,\,
}")
