mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Οκτ 16, 2014 5:53 pm**

Άλλη μια τριγωνομετρική ταυτότητα με αρχική συνθήκη.

Για τις τιμές των α , β, γ ώστε να έχουν νόημα οι τριγωνομετρικοί αριθμοί και οι πράξεις τους :

Αν $\displaystyle{\varepsilon {\varphi ^2}\gamma = \varepsilon \varphi \alpha \cdot \varepsilon \varphi \beta}$ τότε $\displaystyle{\frac{{\varepsilon \varphi \left( {\alpha - \beta } \right)}}{{\varepsilon \varphi \alpha }} = 1 - \frac{{\eta {\mu ^2}\gamma }}{{\eta {\mu ^2}\alpha }}}$

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Οκτ 16, 2014 7:12 pm**

Αρκεί να αποδείξουμε ότι $\displaystyle{\frac{{\tan a - \tan b}}{{\tan a\left( {1 + \tan a\tan b} \right)}}}$ $\displaystyle{= 1 - \frac{{\frac{{{{\tan }^2}c}}{{1 + {{\tan }^2}c}}}}{{\frac{{{{\tan }^2}a}}{{1 + {{\tan }^2}a}}}}}$ … αρκεί αντικαθιστώντας ${\tan ^2}c = \tan c\tan b$ να αποδείξουμε $\tan a - \tan b = \tan a - \tan b,$ που ισχύει.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Οκτ 16, 2014 7:15 pm**

Είναι
$\displaystyle \frac{\tan (a-b)}{ \tan a}=\frac{\tan a - \tan b}{\tan a (1+\tan a \tan b) }= \frac{\tan a -\frac{\tan c^2}{ \tan a}}{\tan a ( 1+ \tan^2c)}=\frac{\tan^2a-\tan ^2 c}{\tan^2 a ( 1+ \tan ^2 c )}=\frac{1}{ 1+ \tan ^2 c}-\frac{1}{\tan ^2 a} \frac{\tan ^2 c}{1+ \tan ^2 c}.$

Όμως

$\displaystyle \frac{1}{ 1+ \tan ^2 c}= \cos^2 c \,\,(1)$ και $\displaystyle \frac{\tan ^2 c}{ 1+ \tan ^2 c}= \sin ^2 c. \,\,(2)$

Επίσης

$\displaystyle \frac{1}{\tan^2a}=\frac{1- \sin^2 a}{ \sin ^2 a}=\frac{1}{\sin ^2 a}-1. \,\,(3)$

Από (1), (2) , (3) είναι

$\displaystyle \frac{\tan (a-b)}{ \tan a}=\cos^2 c - \frac{\sin ^2 c}{ \sin ^2 a}+ \sin ^2 c=1 - \frac{\sin ^2 c}{ \sin ^2 a}$

mathematica.gr

Τριγωνομετρική ταυτότητα 2

Τριγωνομετρική ταυτότητα 2

Re: Τριγωνομετρική ταυτότητα 2

Re: Τριγωνομετρική ταυτότητα 2