mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Οκτ 25, 2014 12:03 am**

Αγαπητοί φίλοι, ας συγκεντρώσουμε εδώ τις λύσεις, τις παρατηρήσεις και τυχόν διορθώσεις στις ασκήσεις που αναρτήθηκαν στην Τράπεζα Θεμάτων της Β΄Λυκείου
Κατόπιν θα συγκεντρωθούν και θα σελιδοποιηθούν ώστε να αναρτηθούν με την ευθύνη των επιμελητών του

.
Ας φροντίσουμε να είναι πλήρως διατυπωμένες οι απαντήσεις μας, για να διευκολυνθούν οι συντάκτες των δελτίων.
Η πρόσκληση απευθύνεται σε κάθε μέλος και φίλο του

που θα ήθελε να συμμετέχει.
Σ' αυτήν τη συζήτηση θα ασχοληθούμε με το
2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

edit 9-11-2014: Πρόσθεσα το σύνδεσμο των θεμάτων.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Νοέμ 10, 2014 4:12 am**

GI_V_ALG_2_17741

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Νοέμ 10, 2014 4:49 am**

GI_V_ALG_2_17736

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Νοέμ 10, 2014 8:48 am**

GI_V_ALG_2_17732

Έστω γνησίως μονότονη συνάρτηση f: ℝ→ℝ, η γραφική παράσταση της οποίας διέρχεται από τα σημεία Α(2, 3) και Β(4, 5) .
α) Να προσδιορίσετε το είδος της μονοτονίας της f. (Μονάδες 13)
β) Αν η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα x΄x στο -2, να δείξετε ότι f(0)>0. (Μονάδες 12)

ΛΥΣΗ

α) Αφού η γραφική παράσταση της f διέρχεται από τα σημεία Α(2,3) και Β(4,5), ισχύουν f(2) = 3 και f(4) = 5.
Αν η συνάρτηση f ήταν γνησίως φθίνουσα, εφόσον 2 < 4, θα είχαμε f(2) > f(4) ή 3 > 5, πράγμα το οποίο είναι άτοπο.
Με δεδομένο ότι η f είναι γνησίως μονότονη, θα είναι γνησίως αύξουσα.
β) Αφού η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα x΄x στο -2, είναι f(-2) = 0.
Είναι -2 < 0 και f γνησίως αύξουσα. Άρα f(-2) < f(0), δηλαδή f(0) > 0.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Νοέμ 10, 2014 11:35 am**

GI_V_ALG_2_16957

Δύο φίλοι, ο Μάρκος και ο Βασίλης, έχουν άθροισμα ηλικιών 27 χρόνια, και ο Μάρκος είναι μεγαλύτερος από το Βασίλη.

α) Μπορείτε να υπολογίσετε την ηλικία του καθενός; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 13)

β) Δίνεται επιπλέον η πληροφορία ότι η διαφορά των ηλικιών τους είναι 5 χρόνια. Να υπολογίσετε την ηλικία του καθενός. (Μονάδες 12)

ΛΥΣΗ

Έστω

η ηλικία του Μάρκου και

η ηλικία του Βασίλη. Από τα δεδομένα, προκύπτει ότι:

x + y = 27

(1) και

(2).

α) Υποθέτουμε ότι οι x, y

είναι θετικοί ρητοί αριθμοί.

Από τα παραπάνω, δεν μπορούμε να υπολογίσουμε την ηλικία του καθενός, διότι η (1) αποτελεί μία γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους, ενώ η (2) δεν αποτελεί ικανό δεσμό σε συνδιασμό με την (1). Για παράδειγμα, θα μπορούσε (x,y) = (18,9)

ή

όπως και άλλοι συνδιασμοί.

β) Τώρα, ξέρουμε ότι και x - y = 5

(3) (καθώς x>y

). Άρα

$(1) + (3) \Longrightarrow 2x = 32 \Longrightarrow x=16$ .

Για x = 16

, από την (1) έχουμε:

$(1) \Longrightarrow 16 + y = 27 \Longrightarrow y = 27 - 16 \Longrightarrow y=11.$

Δηλαδή, ο Μάρκος είναι

ετών και ο Βασίλης 11.

Τα αποτελέσματα αυτά, επαληθεύουν όλα τα δεδομένα.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Νοέμ 10, 2014 2:09 pm**

GI_V_ALG_2_16950

α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με
συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο.
(Μονάδες

)
β) Να παραστήσετε γραφικά στο επίπεδο τις δυο εξισώσεις του συστήματος που ορίσατε στο
α) ερώτημα και, με βάση το γράφημα, να εξηγήσετε γιατί το σύστημα είναι αδύνατο.
(Μονάδες

)

Λύση

α) $\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} 3x + 4y = 12\\ 6x + 8y = 2 \end{array} \right.}$

Αν πολλαπλασιάσουμε την πρώτη εξίσωση με

και την προσθέσουμε στη δεύτερη, θα προκύψει η ισότητα -22=0

. Άρα το σύστημα είναι πράγματι αδύνατο.

β) Οι εξισώσεις του συστήματος γράφονται αντίστοιχα $\displaystyle{y = - \frac{3}{4}x + 3,y = - \frac{3}{4}x + \frac{1}{4}}$ . Οι ευθείες που ορίζουν οι εξισώσεις του συστήματος είναι λοιπόν παράλληλες , άρα το σύστημα είναι αδύνατο.

: 2_16950.png (10.83 KiB) Προβλήθηκε 18072 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Νοέμ 10, 2014 2:48 pm**

GI_V_ALG_2_16960
Η εξίσωση η οποία παριστάνει μια ευθεία είναι της μορφής : ax+by+c=0

, η οποία αν λυθεί ως προς y μας γίνει $\displaystyle{y=\lambda x+\beta }$ , όπου λ ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας αυτής $(\lambda =-\frac{a}{b})$ και $\displaystyle{\beta =\frac{c}{b} }$ , επίσης λ=εφω, όπου ω είναι η γωνία κλίσης της ευθείας με τον άξονα x'x.
Παρατηρώ ότι :

Η ευθεία (ε) τέμνει τους άξονες στα σημεία, Α(0,2) και Β(2,0), λαμβάνοντας την εξίσωση :
- για το σημείο Α(0,2) : $\displaystyle{2=\lambda0+\beta \Rightarrow \beta =2 }$
- για το σημείο Β(2,0) : $\displaystyle{0=2\lambda +\beta \Rightarrow 2\lambda =-\beta \Rightarrow \lambda =-1 }$
Και έτσι η ευθεία (ε) θα έχει εξίσωση:

Η ευθεία (η) τέμνει τον άξονα x'x στο σημείο Γ(4,0) και έχει κλίση .
- Γνωρίζουμε όμως ότι κλίση ευθείας $\displaystyle{\rightarrow \lambda \rightarrow \epsilon \varphi \omega }}$ και έτσι $\displaystyle{\lambda =\epsilon \varphi 45^{\circ} =1 }$ .
  Επομένως η εξίσωση της ευθείας (η) γίνεται : $\displaystyle{y=x+\beta }$ και επειδή το σημείο Γ(4,0) ανήκει στην ευθεία αυτή τότε : $\displaystyle{0=4+\beta \Rightarrow \beta =-4 }$
Τελικά η ευθεία (η) θα έχει εξίσωση

Για να βρούμε τις συντεταγμένες του σημείου τομής των ευθειών αυτών θα λύσουμε σύστημα:
$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} y=x-4\\y=-x+2 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y=x-4\\ -x+2=x-4 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} y=-1\\x=3 \end{matrix}\right. }$

Το σημείο τομής θα έχει συντεταγμένες (3, -1).

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Νοέμ 10, 2014 3:32 pm**

GI_V_ALG_2_16962

Η γραφική παράσταση μιας γνησίως μονότονης συνάρτησης f: ℝ→ ℝ

διέρχεται από τα σημεία
A(5,2)

και

.
α) Να προσδιορίσετε το είδος της μονοτονίας της

αιτιολογώντας την απάντησή σας.
(Μονάδες

)
β) Να λύσετε την ανίσωση f(5-3x) < 2

. (Μονάδες

)

Λύση

α) $\displaystyle{f(5) = 2,f(4) = 9}$ . Είναι λοιπόν 4<5

και

. Επειδή όμως η

είναι γνησίως μονότονη θα είναι γνησίως φθίνουσα.

β) $\displaystyle{f(5 - 3x) < 2 \Leftrightarrow f(5 - 3x) < f(5)\mathop \Leftrightarrow \limits^{f \searrow } 5 - 3x > 5 \Leftrightarrow - 3x > 0 \Leftrightarrow x < 0}$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Νοέμ 10, 2014 6:18 pm**

GI_V_ALG_2_16965

Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x^2 – 4x + 5

,

α) Να αποδείξετε ότι η

γράφεται στη μορφή f(x) = (x - 2)^2+ 1

. (Μονάδες

)
β) Στο σύστημα συντεταγμένων που ακολουθεί, να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση

,
μετατοπίζοντας κατάλληλα την y = x^2

. (Μονάδες

)

Λύση.

α) $\displaystyle{f(x) = {x^2} - 4x + 5 = {x^2} - 4x + 4 + 1 = {(x - 2)^2} + 1}$

β) Η γραφική παράσταση της

με τη μορφή f(x)=(x-2)^2+1

είναι μία οριζόντια μετατόπιση της γραφικής παράστασης της συνάρτησης y=x^2

κατά

μονάδες προς τα δεξιά και ταυτόχρονα κατακόρυφη μετατόπιση κατά

μονάδα προς τα πάνω. Όλα αυτά φαίνονται στο παρακάτω σχήμα.

: 2_16965.png (15.78 KiB) Προβλήθηκε 17997 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Νοέμ 10, 2014 7:35 pm**

GI_V_ALG_2_16968

α) Είναι η τιμή $\displaystyle{x = \frac{\pi }{4}}$ λύση της εξίσωσης $\displaystyle{3\sigma \upsilon \nu 4x + 3 = 0}$ ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες

)

β) Να βρείτε τις τετμημένες των σημείων τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης
$\displaystyle{f(x) = \sigma \upsilon \nu 4x}$ με την ευθεία y = -1

. (Μονάδες

)

Λύση.

α) $\displaystyle{3\sigma \upsilon \nu 4\frac{\pi }{4} + 3 = 3(\sigma \upsilon \nu \pi + 1) = 3( - 1 + 1) = 0}$ .
Άρα η τιμή $\displaystyle{x = \frac{\pi }{4}}$ είναι λύση της εξίσωσης $\displaystyle{3\sigma \upsilon \nu 4x + 3 = 0}$

β) Αναζητούμε τις λύσεις της εξίσωσης f(x)=y

.

$\displaystyle{\sigma \upsilon \nu 4x = - 1 = \sigma \upsilon \nu \pi \Leftrightarrow 4x = 2k\pi + \pi \Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{2} + \frac{\pi }{4},k \in Z}$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Νοέμ 10, 2014 8:07 pm**

GI_V_ALG_2_17647

Δίνεται το σύστημα:
$\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} x - 2y = 8\\ ax + \beta y = \gamma \end{array} \right.}$
με παραμέτρους $\displaystyle{a,\beta ,\gamma \in R}$ .
α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους $\displaystyle{a,\beta ,\gamma }$ ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος (2, -3). (Μονάδες

)

β) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους $\displaystyle{a,\beta ,\gamma }$ ώστε το σύστημα αυτό να είναι αδύνατο. (Μονάδες

)

Ίσως να είναι καλή για εμπέδωση της θεωρίας μέσα στην τάξη, αλλά δεν νομίζω ότι ταιριάζει για εξετάσεις, μία άσκηση που έχει άπειρες σωστές απαντήσεις.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Νοέμ 10, 2014 11:53 pm**

GI_V_ALG_2_17650

Δίνεται ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με μήκος $\displaystyle{x\,\,cm}$ , πλάτος $\displaystyle{y\,\,cm}$ , περίμετρο ίση με
$\displaystyle{38\,\,cm}$ και με την ακόλουθη ιδιότητα:
Αν αυξήσουμε το μήκος του κατά $\displaystyle{2\,\,cm}$ και μειώσουμε το πλάτος του κατά $\displaystyle{4\,\,cm}$ , θα
προκύψει ένα ορθογώνιο με εμβαδόν ίσο με το εμβαδόν του αρχικού.
α) Να εκφράσετε τα δεδομένα με ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους.
(Μονάδες 10)
β) Να βρείτε τις τιμές των διαστάσεων $\displaystyle{x,y}$ του ορθογωνίου. (Μονάδες 15)

Λύση
α) Το δοσμένο ορθογώνιο έχει εμβαδόν $\displaystyle{xy}$ και περίμετρο $\displaystyle{2x + 2y = 38}$ .
Αν γίνουν οι αλλαγές στις διαστάσεις του , το εμβαδόν του θα γίνει $\displaystyle{(x + 2)(y - 4)}$ και θα είναι ίσο με το αρχικό . Επομένως έχουμε το σύστημα :
$\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} 2x + 2y = 38 \\ (x + 2)(y - 4) = xy \\ \end{array} \right.}$
β) Είναι :
$\displaystyle{\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} 2x + 2y = 38 \\ (x + 2)(y - 4) = xy \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + y = 19 \\ xy - 4x + 2y - 8 = xy \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + y = 19 \\ - 4x + 2y = 8 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \\ \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = 19 - x \\ - 2x + 19 - x = 4 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = 19 - x \\ - 3x = - 15 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = 14 \\ x = 5 \\ \end{array} \right. \\ \end{array}}$
Επομένως οι διαστάσεις του είναι $\displaystyle{x = 5,y = 14}$

Σχόλιο : Επειδή , παραδοσιακά , λέμε μήκος τη μεγαλύτερη πλευρά και επειδή εδώ προκύπτει
ότι το μήκος είναι μικρότερο από το πλάτος , ας μην παρασυρθούν οι μαθητές από τις λέξεις .
Η λύση είναι σωστή . Ελπίζω το ΙΕΠ να διορθώσει την εκφώνηση .

Εdit 14_11_14 : Προστέθηκε το σχόλιο ( Ευχαριστώ τον Γ. Ρίζο )

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Νοέμ 11, 2014 12:50 am**

GI_V_ALG_2_17734

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Νοέμ 11, 2014 2:20 am**

ΘΕΜΑ 17652

Δίνεται γωνία $\omega$ που ικανοποιεί τη σχέση:
$\displaystyle{{{\left( \eta \mu \omega +\sigma \upsilon \nu \omega \right)}^{2}}=1}$
α) Να αποδείξετε ότι είτε $\displaystyle{\eta \mu \omega =0}$ είτε $\displaystyle{\sigma \upsilon \nu \omega =0}$ . (Μονάδες 13)
β) Να βρείτε τις δυνατές τιμές της γωνίας $\omega$ . (Μονάδες 12)

ΛΥΣΗ

Α) Είναι $\displaystyle{{{\left( \eta \mu \omega +\sigma \upsilon \nu \omega \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow \eta {{\mu }^{2}}\omega +\sigma \upsilon {{\nu }^{2}}\omega+ 2\eta \mu \omega \cdot \sigma \upsilon \nu \omega =1}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow 1+2\eta \mu \omega \cdot \sigma \upsilon \nu \omega =1\Leftrightarrow 2\eta \mu \omega \cdot \sigma \upsilon \nu \omega =0}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow \eta \mu \omega =0}$ ή $\displaystyle{\sigma \upsilon \nu \omega =0}$

Β) Αν $\displaystyle{\eta \mu \omega =0\Leftrightarrow \omega =2\kappa \pi }$ ή $\displaystyle{\omega =2\kappa \pi +\pi =\left( 2\kappa +1 \right)\pi }$ , $\kappa \in \mathbb{Z}$ .

Γενικά $\omega =\kappa \pi$ , $\kappa \in \mathbb{Z}$
(Δη λαδή τα ακέραια πολλαπλάσια του $\pi$ )

Αν $\displaystyle{\sigma \upsilon \nu \omega =0\Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu \omega =\sigma \upsilon \nu \frac{\pi }{2}\Leftrightarrow \omega =2\kappa \pi \pm \frac{\pi }{2}}$ , $\kappa \in \mathbb{Z}$ .

Γενικά $\omega =\kappa \pi +\frac{\pi }{2}$ , $\kappa \in \mathbb{Z}$

( Το σύνολο των δυνατών τιμών της γωνίας $\omega$ θα μπορούσε να εκφραστεί γενικά από την σχέση $\omega =\kappa \frac{\pi }{2}$ , $\kappa \in \mathbb{Z}$ . )

ΕΓΙΝΕ ΔΙΟΡΘΩΣΗ ΥΣΤΕΡΑ ΑΠΟ Π.Μ. ΤΟΥ ΠΙΟ ΠΑΡΑΤΗΡΗΤΙΚΟΥ dimkat

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Νοέμ 11, 2014 10:30 am**

GI_V_ALG_2_18638

Δίνεται το σύστημα $\displaystyle{\begin{cases} 2x+y=3 \\a x+\beta y=\gamma \end{cases}}$ με παραμέτρους $\displaystyle{a,\beta,\gamma \in \mathbb R}$ .

α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους $\displaystyle{a,\beta,\gamma}$ ώστε το σύστημα να έχει μοναδική λύση το ζεύγος $\displaystyle{(-1,5)}$ .

β) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους $\displaystyle{a,\beta,\gamma}$ ώστε το σύστημα να έχει άπειρες λύσεις και να επαληθεύσετε γραφικά την επιλογή σας.

Λύση

α) Το σύστημα έχει ορίζουσα $\displaystyle{D=2\beta-a}$ . Για να έχει μοναδική λύση : $\displaystyle{D\ne0\Leftrightarrow a\ne 2\beta~(1)}$ .

Αφού το ζεύγος $\displaystyle{(-1,5)}$ επαληθεύει, αντικαθιστούμε στη δεύτερη εξίσωση (η πρώτη ικανοποιείται) και έχουμε $\displaystyle{-a+5\beta=\gamma}~(2)$ .

Φροντίζοντας να ισχύει η (1), επιλέγουμε π.χ. $\displaystyle{a=1,\beta=3}$ και έτσι η (2) δίνει $\displaystyle{\gamma =14}$ .

β) Για να έχει άπειρες λύσεις το σύστημα πρέπει $\displaystyle{D=0\Leftrightarrow a=2\beta}$ . Επιλέγουμε π.χ. $\displaystyle{a=2,\beta=1}$ και αντικαθιστούμε :

$\displaystyle{\begin{cases} 2x+y=3 \\2 x+ y=\gamma \end{cases}}$ άρα προφανώς θα πρέπει $\displaystyle{\gamma=3}$ . Tότε οι λύσεις είναι τα ζεύγη

που αποτελούν συντεταγμένες των σημείων της ευθείας $\displaystyle{y=-2x+3}$

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Νοέμ 11, 2014 10:44 am**

GI_V_ALG_2_18637

Δίνεται το σύστημα $\displaystyle{\begin{cases} x-2y=9 \\a x+\beta y=\gamma \end{cases}}$ με παραμέτρους $\displaystyle{a,\beta,\gamma \in \mathbb R}$ .

α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους $\displaystyle{a,\beta,\gamma}$ ώστε το σύστημα να έχει μοναδική λύση το ζεύγος $\displaystyle{(1,-4)}$ .

β) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους $\displaystyle{a,\beta,\gamma}$ ώστε το σύστημα να είναι αδύνατο και να επαληθεύσετε γραφικά την επιλογή σας.

Λύση

α) Το σύστημα έχει ορίζουσα $\displaystyle{D=\beta+2a}$ . Για να έχει μοναδική λύση : $\displaystyle{D\ne0\Leftrightarrow \beta\ne -2a~(1)}$ .

Αφού το ζεύγος $\displaystyle{(1,-4)}$ επαληθεύει, αντικαθιστούμε στη δεύτερη εξίσωση (η πρώτη ικανοποιείται) και έχουμε $\displaystyle{a-4\beta=\gamma}~(2)$ .

Φροντίζοντας να ισχύει η (1), επιλέγουμε π.χ. $\displaystyle{a=1,\beta=2}$ και έτσι η (2) δίνει $\displaystyle{\gamma =-7}$ .

β) Για να είναι το σύστημα αδύνατο πρέπει $\displaystyle{D=0\Leftrightarrow \beta=-2a}$ . Επιλέγουμε π.χ. $\displaystyle{a=1,\beta=-2}$ και αντικαθιστούμε :

$\displaystyle{\begin{cases} x-2y=9 \\ x-2y=\gamma \end{cases}}$ άρα προφανώς θα πρέπει $\displaystyle{\gamma\ne 9}$ . Eπιλέγουμε π.χ. $\displaystyle{\gamma=7}$ .

Tότε το σύστημα παριστάνει τις ευθείες $\displaystyle{y=\frac{1}{2}x-\frac{9}{2},~y=\frac{1}{2}x-\frac{7}{2}}$ που είναι παράλληλες.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Νοέμ 11, 2014 11:06 am**

GI_V_ALG_2_17651

Στο δημοτικό parking μιας επαρχιακής πόλης στις

το πρωί, το σύνολο των δίκυκλων και
τετράτροχων οχημάτων που έχουν παρκάρει είναι 830

και το πλήθος των τροχών τους
2.700

.
α) Να εκφράσετε τα δεδομένα με ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους.
(Μονάδες

)
β) Να βρείτε τον αριθμό των δίκυκλων καθώς και τον αριθμό των τετράτροχων οχημάτων.
(Μονάδες

)

Λύση.

α) Έστω x,y

ο αριθμός των δίκυκλων και των τετράτροχων οχημάτων αντίστοιχα.
Η μία εξίσωση του συστήματος είναι x+y=830

Τα δίκυκλα έχουν συνολικά

τροχούς, ενώ τα τετράτροχα

τροχούς. Η άλλη εξίσωση λοιπόν του συστήματος είναι 2x+4y=2700

ή

β) $\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} x + y = 830\\ x + 2y = 1350 \end{array} \right.\mathop \Leftrightarrow \limits^{( - )} \left\{ \begin{array}{l} x + y = 830\\ y = 520 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 310\\ y = 520 \end{array} \right.}$

Έχουμε λοιπόν 310

δίκυκλα και 520

τετράτροχα οχήματα.

Σχόλιο: Αν έβλεπα αυτή την άσκηση χωρίς να ξέρω σε ποια τάξη απευθύνεται, θα έλεγα ότι είναι της Γ' Γυμνασίου.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Νοέμ 11, 2014 1:23 pm**

GI_V_ALG_2_18634

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=2x^2-12x+19}$

α) Να δείξετε ότι γράφεται στη μορφή: $\displaystyle{f(x)=2(x-3)^2+1}$

β) Παρακάτω δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης $\displaystyle{g(x)=x^2}$ . Στο ίδιο σύστημα αξόνων,

να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της $\displaystyle{f}$ , και να εξηγήσετε πως αυτή προκύπτει μετατοπίζοντας κατάλληλα τη γραφική παράσταση της $\displaystyle{g}$ .

Λύση

α) Έχουμε : $\displaystyle{f(x)=2x^2-12x+19=2x^2-12x+18+1=2(x^2-6x+9)+1=2(x-3)^2+1}$

β) Η γραφική παράσταση της $\displaystyle{f}$ (κόκκινη) θα προκύψει από τη γραφική παράσταση της $\displaystyle{g}$ (μπλε) με δύο

μετατοπίσεις : μία οριζόντια προς τα δεξιά κατά $\displaystyle{3}$ μονάδες και μία κατακόρυφη προς τα πάνω κατά μία μονάδα.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Νοέμ 11, 2014 1:55 pm**

GI_V_ALG_2_17741

α) Να αποδείξετε ότι : $\displaystyle{\frac{\eta \mu x}{1-\sigma \upsilon \nu x}+\frac{\eta \mu x}{1+\sigma \upsilon \nu x}=\frac{2}{\eta \mu x},~x\ne \kappa \pi,~\kappa \in \mathbb Z}$

β) Να λυθεί η εξίσωση : $\displaystyle{\frac{\eta \mu x}{1-\sigma \upsilon \nu x}+\frac{\eta \mu x}{1+\sigma \upsilon \nu x}=\frac{4}{\sqrt{3}}}$

Λύση

α) $\displaystyle{\frac{\eta \mu x}{1-\sigma \upsilon \nu x}+\frac{\eta \mu x}{1+\sigma \upsilon \nu x}=\frac{\eta \mu x(1+\sigma \upsilon \nu x)+\eta \mu x(1-\sigma \upsilon \nu x)}{(1-\sigma \upsilon \nu x)(1-\sigma \upsilon \nu x)}=\frac{\eta \mu x+\eta \mu x\sigma \upsilon \nu x+\eta \mu x-\eta \mu x\sigma \upsilon \nu x}{1-\sigma \upsilon \nu^2x}=\frac{2\eta \mu x}{\eta \mu^2 x}=\frac{2}{\eta \mu x}}$ .

β) Από το πρώτο ερώτημα για $\displaystyle{x\ne \kappa \pi,~\kappa \in \mathbb Z}$ η εξίσωση είναι ισοδύναμη με την

$\displaystyle{\frac{2}{\eta \mu x}=\frac{4}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow \eta \mu x=\frac{\sqrt{3}}{2}=\eta \mu \frac{\pi}{3} \Leftrightarrow x=2\kappa \pi+\frac{\pi}{3}~\acute{\eta}~x=2\kappa \pi+\frac{2\pi}{3},~\kappa \in \mathbb Z}$ (δεκτές)

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Νοέμ 11, 2014 2:05 pm**

GI_V_ALG_2_17739

Έστω γωνία $\displaystyle{x}$ για την οποία ισχύουν : $\displaystyle{\frac{\pi}{2}<x<\pi}$ και $\displaystyle{\eta \mu(\pi-x)-\eta \mu(\pi+x)=1}$ .

α) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\eta \mu x=\frac{1}{2}}$

β) Να βρείτε τη γωνία $\displaystyle{x}$

Λύση

α) Έχουμε $\displaystyle{\eta \mu(\pi-x)-\eta \mu(\pi+x)=1\Leftrightarrow \eta\mu x-(-\eta \mu x)=1\Leftrightarrow 2\eta \mu x=1\Leftrightarrow \eta\mu x=\frac{1}{2}}$

β) Είναι $\displaystyle{\eta \mu x=\frac{1}{2}=\eta \mu \frac{\pi}{6}}$ και $\displaystyle{\frac{\pi}{2}<x<\pi}$ άρα $\displaystyle{x=\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}}$

mathematica.gr

2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ