mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Νοέμ 11, 2014 7:53 pm**

: Δευτερεύοντα στοιχεία.png (7.05 KiB) Προβλήθηκε 700 φορές

Σε τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , με AB=4

και

, φέραμε το ύψος

και τη διχοτόμο

. Αν

είναι το μέσο της

, δείξτε ότι : $ME \cdot MD=1$ . Για ποιο μήκος της

, είναι

?

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Νοέμ 11, 2014 8:20 pm**

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Νοέμ 11, 2014 10:09 pm**

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Δευτερεύοντα στοιχεία.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Σε τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , με και , φέραμε το ύψος και τη διχοτόμο . Αν

είναι το μέσο της , δείξτε ότι : $ME \cdot MD=1$ . Για ποιο μήκος της , είναι ?

Καλησπέρα

Λίγο διαφορετικά .

: δευτερεύοντα στοιχεία.png (16.52 KiB) Προβλήθηκε 640 φορές

Με δεδομένο b > c

έχουμε :

α) Από το 2ο Θ. διαμέσων στο τρίγωνο ABC

έχουμε : ${b^2} - {c^2} = 2aDM\,(1)$ .

Από το Θ διχοτόμων στο ίδιο τρίγωνο έχουμε : $EC = \dfrac{{ab}}{{b + c}}$ και άρα $EM = \dfrac{{ab}}{{b + c}} - \dfrac{a}{2} = a(\dfrac{b}{{b + c}} - \dfrac{1}{2})$ και άρα $\dfrac{{a(b - c)}}{{2(b + c)}} = ME\,\,(2)$ .

Με πολλαπλασιασμό κατά μέλη τις $(1)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(2)$ θα προκύψει : $(b - c)(b + c)\dfrac{{a(b - c)}}{{2(b + c)}} = 2aMD \cdot ME$ και άρα $\boxed{MD \cdot ME = \dfrac{{{{(b - c)}^2}}}{4}}$ . Για την εφαρμογή δε $ME \cdot MD = 1$

β) Έστω DE = x

επειδή $ME = \dfrac{1}{{DM}}$ θα έχουμε : $DE + ME = DM \Rightarrow x + \dfrac{1}{{DM}} = DM$ . Αλλά λόγω της (1)

και με

$b = 6\,\,,\,\,c = 4$ θα έχουμε: $DM = \dfrac{{10}}{a}$ και άρα για $x = \dfrac{3}{2}$ έχουμε την εξίσωση : $\dfrac{3}{2} + \dfrac{a}{{10}} = \dfrac{{10}}{a}$ απ’ όπου a = 5

ή

και συνεπώς δεκτή η τιμή a = 5

.

Φιλικά Νίκος

mathematica.gr

Δευτερεύοντα στοιχεία

Δευτερεύοντα στοιχεία

Re: Δευτερεύοντα στοιχεία

Re: Δευτερεύοντα στοιχεία