mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιαν 10, 2010 8:14 pm**

Σωστό ή λάθος? Έχουμε μια συνάρτηση $f:[a,b]\to {\mathbb R}$ . Αν το σύνολο των σημείων στα οποία είναι ασυνεχής από αριστερά είναι αριθμήσιμο τότε το σύνολο των σημείων στα οποία είναι ασυνεχής από δεξιά είναι αριθμήσιμο.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιαν 10, 2010 9:51 pm**

Καραδήμας έγραψε:Σωστό ή λάθος? Έχουμε μια συνάρτηση $f:[a,b]\to {\mathbb R}$ . Αν το σύνολο των σημείων στα οποία είναι ασυνεχής από αριστερά είναι αριθμήσιμο τότε το σύνολο των σημείων στα οποία είναι ασυνεχής από δεξιά είναι αριθμήσιμο.

Απάντηση: Λ

Π.χ. f στο [0,1] με $f(0) = 0, f(x) = \frac{1}{n+1}\,\, \sigma \tau \o \,\,[ \frac{1}{n+1}, \frac{1}{n}),\, f(1) = 1$ .

Είναι παντού συνεχής από δεξιά, ασυνεχής στα 1/(n+1) από αριστερά.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιαν 10, 2010 9:54 pm**

Να το διευκρινίσω: αριθμήσιμο = το πολύ αριθμήσιμο.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιαν 10, 2010 9:57 pm**

Ναι, το φρόντισα αυτό. Τα μόνα επίμαχα σημεία είναι τα 0 και 1, αλλά έτσι όπως όρισα την f, είναι δεξιά συνεχής και σε αυτά.

M.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιαν 10, 2010 10:00 pm**

Να το ξαναδιευκρινίσω: όταν γράφω "αριθμήσιμο" εννοώ κενό, πεπερασμένο ή άπειρο αριθμήσιμο.

Λάθος θα πει: υπάρχει συνάρτηση με το πολύ αριθμήσιμα σημεία ασυνέχειας από τη μιά και υπεραριθμήσιμα σημεία ασυνέχειας από την άλλη.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιαν 10, 2010 10:06 pm**

Καραδήμας έγραψε:Να το ξαναδιευκρινίσω: όταν γράφω "αριθμήσιμο" εννοώ κενό, πεπερασμένο ή άπειρο αριθμήσιμο.

Λάθος θα πει: υπάρχει συνάρτηση με το πολύ αριθμήσιμα σημεία ασυνέχειας από τη μιά και υπεραριθμήσιμα σημεία ασυνέχειας από την άλλη.

Αααα. Αν είναι και το κενό μέσα, τότε αλλάζει.
Οπότε ψάχνεις για τι γίνεται "από την άλλη πλευρά των πληθαρίθμων, προς τα πάνω".
Θα το δω.

Μ.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιαν 16, 2010 3:12 pm**

Η απάντηση είναι: σωστό.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιαν 27, 2010 6:02 pm**

Καραδήμας έγραψε:Σωστό ή λάθος? Έχουμε μια συνάρτηση $f:[a,b]\to {\mathbb R}$ . Αν το σύνολο των σημείων στα οποία είναι ασυνεχής από αριστερά είναι αριθμήσιμο τότε το σύνολο των σημείων στα οποία είναι ασυνεχής από δεξιά είναι αριθμήσιμο.

Θέλουμε να δείξουμε ότι το σύνολο A^+(f)

των σημείων στα οποία η

είναι δεξιά ασυνεχής είναι το πολύ αριθμήσιμο. Αρκεί να κοιτάξουμε εκείνα τα σημεία στα οποία η

είναι αριστερά συνεχής και δεξιά ασυνεχής.

Θέτουμε αυτό το σύνολο

. Τότε το

γράφεται $B=\bigcup_{m=1}^\infty B_m$ , όπου $B_m=\{x\in C^-(f) : {\rm osc}^+(f,x)>1/m \}$ . Με C^-(f)

συμβολίζουμε τα σημεία στα οποία η

είναι αριστερά συνεχής και με ${\rm osc}^+(f,x)$ τη δεξιά ταλάντωση της

στο

. Δηλαδή, ${\rm osc}^+(f,x)=\inf\{ \sup\{ |f(t)-f(x)| : x<t<x+\delta\} : \delta>0 \}$ .

Έτσι, αρκεί να δείξουμε ότι κάθε B_m

είναι αριθμήσιμο. Αν θεωρήσουμε $x\in B_m$ , τότε από την αριστερή συνέχεια της

στο

υπάρχει $\delta_x>0$ ώστε $|f(t)-f(x)|<\frac{1}{3m}$ για κάθε $x-\delta_x<t<x$ .

Επιπλέον, είναι $(x-\delta_x, x)\cap B_m=\emptyset$ . Αυτό δίνει ότι το B_m

είναι το πολύ αριθμήσιμο.

mathematica.gr

Πλευρικές ασυνέχειες

Πλευρικές ασυνέχειες

Re: Πλευρικές ασυνέχειες

Re: Πλευρικές ασυνέχειες

Re: Πλευρικές ασυνέχειες

Re: Πλευρικές ασυνέχειες

Re: Πλευρικές ασυνέχειες

Re: Πλευρικές ασυνέχειες

Re: Πλευρικές ασυνέχειες