Οριο
Δημοσιεύτηκε: Κυρ Ιαν 10, 2010 10:29 pm
Να υπολογιστει το ακολουθο οριο :
![\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left[ {f\left( a \right) \cdot f\left( {a + \frac{h}{n}} \right) \cdot f\left( {a + \frac{{2 \cdot h}}{n}} \right)...f\left( {a + \frac{{nh}}{n}} \right)} \right]^{\frac{1}{n}}}}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/38236fd568a4d26d2d46b9e5137282ad.png "\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left[ {f\left( a \right) \cdot f\left( {a + \frac{h}{n}} \right) \cdot f\left( {a + \frac{{2 \cdot h}}{n}} \right)...f\left( {a + \frac{{nh}}{n}} \right)} \right]^{\frac{1}{n}}}}")
Χωρίς καμμιά υπόθεση γιά τήν συνάρτηση(??)papel έγραψε:Να υπολογιστει το ακολουθο οριο :
;Σελίδα 1 από 1
Re: Οριο
Δημοσιεύτηκε: Κυρ Ιαν 10, 2010 10:40 pm
;Re: Οριο
Δημοσιεύτηκε: Κυρ Ιαν 10, 2010 10:41 pm
Ενδιαφέρον.papel έγραψε:Να υπολογιστει το ακολουθο οριο :
Ο λογάριθμος του "μέσα" είναι άθροισμα Riemann του
.(Υπέθεσα f θετική και συνεχής ή έστω, ολοκληρώσιμη).
Τελική απάντηση:
Φιλικά,
Μιχάλης Λάμπρου.
Edit: διόρθωσα ένα 1/h και το log που έλειπαν, λόγω ... ταχύτητας.
Re: Οριο
Δημοσιεύτηκε: Κυρ Ιαν 10, 2010 10:44 pm
Θεωρώ F θετική ...με επιφύλαξη...
![\displaystyle{\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left[ {\ln {{\left[ {f\left( a \right)\cdotf\left( {a + \frac{h}{n}} \right)\cdotf\left( {a + \frac{{2\cdoth}}{n}} \right)...f\left( {a + \frac{{nh}}{n}} \right)} \right]}^{\frac{1}{n}}}} \right] = \\
= \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left[ {\frac{1}{n}\sum\limits_{k = 0}^n {\ln } f\left( {a + \frac{{hk}}{n}} \right)} \right] = \int\limits_0^1 {\ln f\left( {a + xh} \right)dx} \\
\end{array}}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/6a2393d44fa0b966023d1d5940adb31d.png "\displaystyle{\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left[ {\ln {{\left[ {f\left( a \right)\cdotf\left( {a + \frac{h}{n}} \right)\cdotf\left( {a + \frac{{2\cdoth}}{n}} \right)...f\left( {a + \frac{{nh}}{n}} \right)} \right]}^{\frac{1}{n}}}} \right] = \\
= \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left[ {\frac{1}{n}\sum\limits_{k = 0}^n {\ln } f\left( {a + \frac{{hk}}{n}} \right)} \right] = \int\limits_0^1 {\ln f\left( {a + xh} \right)dx} \\
\end{array}}")
ΥΓ : όπως βλέπω από τις έλλες λύσεις...θεώρησα ότι είναι και ολοκληρώσιμη
ΥΓ: Διόρθωσα επιπόλαιο λάθος στο άνω όριο του ολοκληρώματος
ΥΓ : όπως βλέπω από τις έλλες λύσεις...θεώρησα ότι είναι και ολοκληρώσιμη
ΥΓ: Διόρθωσα επιπόλαιο λάθος στο άνω όριο του ολοκληρώματος
Re: Οριο
Δημοσιεύτηκε: Κυρ Ιαν 10, 2010 10:50 pm
Επικολω την εκφωνηση απο το παμπαλαιο βιβλιο:
Μαλλον του mathxl ειναι πιο κοντα στο ζητουμενο.
Μαλλον του mathxl ειναι πιο κοντα στο ζητουμενο.
Re: Οριο
Δημοσιεύτηκε: Κυρ Ιαν 10, 2010 11:12 pm
Αφού το βιβλίο είναι παλιό, εξυπακούεται (με τα τότε στάνταρ) ότι υποθέτει η φpapel έγραψε:Επικολω την εκφωνηση απο το παμπαλαιο βιβλιο:
Μαλλον του mathxl ειναι πιο κοντα στο ζητουμενο.
είναι συνεχής. Αλλιώς δεν είναι σωστό το αποτέλεσμα. Μάλιστα μπορεί να μην έχει καν νόημα η απάντηση.
Π.χ. a = 0, h = 1 και φ(χ) = 1 αν χ ρητός, 0 αλλιώς.
Τώρα, το μεν αριστερό μέλος (το όριο) είναι 1 (όλοι οι όροι είναι 1, και η παράσταση είναι σταθερή), ενώ το ολοκλήρωμα δεν έχει νόημα.
Μ.