mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Δεκ 27, 2014 3:54 pm**

Τα $\rm ABME,BDZM,DKNZ$ είναι τετράγωνα πλευράς $\rm 1 cm.$ Το $\rm ANPO$ είναι ορθογώνιο.

Υπολογίστε τα εμβαδά των τριγώνων $\rm AOK,NKP.$

: Xρόνια Πολλά 2.png (8.89 KiB) Προβλήθηκε 4216 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Δεκ 28, 2014 2:24 pm**

Παύλος Μαραγκουδάκης έγραψε:Τα $\rm ABME,BDZM,DKNZ$ είναι τετράγωνα πλευράς $\rm 1 cm.$ Το $\rm ANPO$ είναι ορθογώνιο.

Υπολογίστε τα εμβαδά των τριγώνων $\rm AOK,NKP.$

Το συνημμένο Xρόνια Πολλά 2.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο

Καλό μεσημέρι.

Πυθαγόρειο στο AKN

: $\displaystyle{A{N^2} = A{K^2} + K{N^2} = 10 \Leftrightarrow AN = \sqrt {10} = OP}$

Στο τρίγωνο AKN

: $\displaystyle{\varepsilon \varphi \varphi = \frac{{NK}}{{AK}} = \frac{1}{3}}$

Στο τρίγωνο AOK

: $\displaystyle{\varepsilon \varphi \varphi = \frac{x}{{OK}}}$ , οπότε OK=3x

.
Από Πυθαγόρειο στο τρίγωνο AOK

: $\displaystyle{{x^2} + {(3x)^2} = 9 \Leftrightarrow 10{x^2} = 9 \Leftrightarrow x = \frac{3}{{\sqrt {10} }}}$ και κατά συνέπεια $\displaystyle{OK = \frac{9}{{\sqrt {10} }}}$

$\displaystyle{(AOK) = \frac{1}{2}x \cdot 3x = \frac{{3{x^2}}}{2} = \frac{{27}}{{20}} \Leftrightarrow }$ $\boxed{(AOM)=1, 35}$

: Εμβαδά τριγώνων.png (10.71 KiB) Προβλήθηκε 4168 φορές

$\displaystyle{KP = OP - OK = \sqrt {10} - \frac{9}{{\sqrt {10} }} = \frac{1}{{\sqrt {10} }}}$

$\displaystyle{(NKP) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{\sqrt {10} }} \cdot \frac{3}{{\sqrt {10} }} = \frac{3}{{20}} \Leftrightarrow }$ $\boxed{(NKP)=0, 15}$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Δεκ 28, 2014 7:02 pm**

Και ο Κύριος Γιώργος είναι γρήγορος απλά να σημειώσω ότι με την πρώτη ματιά νόμισα ότι τα ορθογώνια έχουν ίδιο εμβαδόν αλλά η

είναι μεγαλύτερη από την

γιατί είναι υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου ENA

ενώ αντίστροφα η

είναι μικρότερη από την

γιατί είναι κάθετη πλευρά Εγώ την έλυσα παρόμοια με το ημίτονο και το

το υπολόγισα με την γωνία KNP

που είναι ίση με την $\varphi$ γιατί έχουν κάθετες πλευρές

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Δεκ 28, 2014 8:32 pm**

Περιττό

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Δεκ 28, 2014 10:39 pm**

T-Rex έγραψε:... απλά να σημειώσω ότι με την πρώτη ματιά νόμισα ότι τα ορθογώνια έχουν ίδιο εμβαδόν ...

: Ορθογώνια.png (10.71 KiB) Προβλήθηκε 4121 φορές

Κι όμως , αυτή είναι η αλήθεια ! Και μάλιστα για οποιοδήποτε αρχικό ορθογώνιο ABCD

και το

δημιουργούμενο με μία βάση την

και την απέναντι πλευρά να διέρχεται από την κορυφή

.

Μπορείτε να βρείτε μια απόδειξη του παραπάνω ισχυρισμού , σε μισή γραμμή ?

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Δεκ 28, 2014 10:50 pm**

KARKAR έγραψε:
T-Rex έγραψε:... απλά να σημειώσω ότι με την πρώτη ματιά νόμισα ότι τα ορθογώνια έχουν ίδιο εμβαδόν ...
Ορθογώνια.png

Κι όμως , αυτή είναι η αλήθεια ! Και μάλιστα για οποιοδήποτε αρχικό ορθογώνιο και το

δημιουργούμενο με μία βάση την και την απέναντι πλευρά να διέρχεται από την κορυφή .

Μπορείτε να βρείτε μια απόδειξη του παραπάνω ισχυρισμού , σε μισή γραμμή ?

Το τρίγωνο BAC

είναι σε εμβαδόν το μισό του κάθε ορθογωνίου

Φιλικά Νίκος

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Δεκ 29, 2014 12:16 am**

Παύλος Μαραγκουδάκης έγραψε:Τα $\rm ABME,BDZM,DKNZ$ είναι τετράγωνα πλευράς $\rm 1 cm.$ Το $\rm ANPO$ είναι ορθογώνιο.

Υπολογίστε τα εμβαδά των τριγώνων $\rm AOK,NKP.$

Το συνημμένο Xρόνια Πολλά 2.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο

: Εμβαδά τριγώνων.png (13.58 KiB) Προβλήθηκε 4102 φορές

Μετά και την πιο πάνω παρατήρηση το τρίγωνο AKN

έχει εμβαδόν ίσο με το μισό κάθε ορθογωνίου δηλαδή, $\dfrac{3}{2} = 1,5$ .

Έτσι τα τρίγωνα $AOK\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PNK$ θα έχουν μαζί εμβαδόν το υπόλοιπο μισό του ορθογωνίου δηλαδή 1,5

.

Όμως τα τρίγωνα αυτά είναι όμοια με λόγο ομοιότητας το λόγο των υποτεινουσών τους που είναι

.

Αν λοιπόν το μικρό έχει εμβαδόν

το μεγάλο θα έχει εμβαδόν ${3^2}T = 9T$ .

Αφού όμως $9T + T = 1,5 \Rightarrow 10T = 1,5$ και άρα $\boxed{T = 0,15\,\,}$ και το μεγάλο 9T = 1,35

Φιλικά Νίκος

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Δεκ 30, 2014 9:37 am**

Καλήν ημέρα σε όλους!

Ας το επεκτείνουμε λίγο ακόμα. Για οποιαδήποτε θέση

στο τμήμα

τα εμβαδά των ορθογωνίων είνια ίσα. Αν δεν το πιστεύετε δείτε το (συνημμένο) δυναμικό σχήμα Geogebra. Μετακινήστε τον κέρσορα στις θέσεις 0-3

. Το εμβαδό μένει σταθερό.
(Ίσως να βγαίνουμε εκτός φακέλου, αλλά έχει ενδιαφέρον).

Προς μαθητές:
Προσοχή! Το σχήμα δεν είναι απόδειξη. Απλά μάς βοηθά στη διερεύνηση του προβλήματος!

: 30-12-2014 B Gymnasiou.png (16.88 KiB) Προβλήθηκε 4049 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Δεκ 31, 2014 8:07 pm**

Πιθανολογώ ότι πέρασε γρήγορα απαρατήρητο, γι' αυτό έμεινε αναπάντητη.
Για να μη ξεχρονίσει δίχως απάντηση, δίνω μια Τριγωνομετρική λύση (σε επίπεδο Β΄ Γυμνασίου), για να εθίζονται σιγά - σιγά οι μικροί μας αναγνώστες στις χαρές της Τριγωνομετρίας

Αν κάποιος φίλος θέλει να σώσει τα παιδιά μας από το "βούρκο της Τριγωνομετρίας"

, ας αναρτήσει άλλη λύση... Τα παιδιά θα επιλέξουν!

: 31-12-2014 B Gymnasiou.png (10.71 KiB) Προβλήθηκε 4013 φορές

Είναι $\displaystyle \widehat {DCA'} = \;\widehat {BCZ} = {\rm{\varphi }}$ γιατί είναι συμπληρωματικές της $\displaystyle \widehat {{\rm A}'CB}$ .

Τότε στο DA'C

είναι $\displaystyle \sigma \upsilon \nu \varphi = \frac{{DC}}{{CA'}} \Leftrightarrow CA' = \frac{{DC}}{{{\rm{\sigma \upsilon \nu \varphi }}}}$ και στο BCZ

είναι $\displaystyle \sigma \upsilon \nu \varphi = \frac{{CZ}}{{CB}} \Leftrightarrow CZ = CB \cdot {\rm{\sigma \upsilon \nu \varphi }}$

Οπότε $\displaystyle \left( {{\rm A}'CZE} \right) = A'C \cdot CZ = \frac{{DC}}{{\sigma \upsilon \nu \varphi }} \cdot CB \cdot \sigma \upsilon \nu \varphi = DC \cdot CB = \left( {ABCD} \right)$ , για οποιαδήποτε θέση του

στην

.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Δεκ 31, 2014 9:42 pm**

Λίγο πιο άμεσα (αλλά και εκτός ύλης Β΄Γυμνασίου): από ομοιότητα ορθογωνίων τριγώνων DA'C

,

έχουμε $\displaystyle\frac{|CD|}{|CZ|}=\frac{|CA'|}{|CB|}\Leftrightarrow |CD|\cdot |CB|=|CA'|\cdot |CZ|$ , δηλαδή (ABCD)=(EZCA')

.

Χρόνια Πολλά!

Γιώργος Μπαλόγλου

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιαν 02, 2015 7:08 pm**

Περιττό

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιαν 02, 2015 7:55 pm**

: Ορθογώνια.png (11.26 KiB) Προβλήθηκε 3881 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιαν 11, 2015 11:42 am**

gbaloglou έγραψε:Λίγο πιο άμεσα (αλλά και εκτός ύλης Β΄Γυμνασίου): από ομοιότητα ορθογωνίων τριγώνων , έχουμε $\displaystyle\frac{|CD|}{|CZ|}=\frac{|CA'|}{|CB|}\Leftrightarrow |CD|\cdot |CB|=|CA'|\cdot |CZ|$ , δηλαδή .

Πέρασαν οι διακοπές ... και δεν εμφανίστηκε κάποια 'μαγική' προσέγγιση που να αποφεύγει την έννοια της αναλογίας (είτε άμεσα μέσω ομοίων τριγώνων είτε έμμεσα μέσω τριγωνομετρίας): αναστρέφοντας την κατάσταση θα έλεγα ότι το καταπληκτικό αυτό πρόβλημα που μας έστειλε ο Γιώργος Ρίζος (δεν ξέρω πόσο γνωστό είναι στους καθηγητές Γυμνασίου) θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί ως προεισαγωγή στα όμοια τρίγωνα -- δείχνεις δηλαδή στους μαθητές ένα πρόβλημα που εύκολα κατανοούν* αλλά δεν έχουν τα μέσα να επιλύσουν ... ως κίνητρο για την εισαγωγή αυτών των μέσων. (Δεν ξέρω ως ποιο βαθμό χρησιμοποιούνται τέτοιες προεισαγωγές στα σχολικά κλπ βιβλία, αλλά νομίζω πως είναι πολύ καλή ιδέα -- συχνά ο μαθητής δεν μπορεί να ξεκολλήσει από το "μα γιατί τα μαθαίνουμε αυτά".)

*εδώ θα πρότεινα ακόμη και πειραματική επαλήθευση της ισότητας εμβαδών (μετρήσεις πλευρών με ακρίβεια χιλιοστού, κλπ)

Γιώργος Μπαλόγλου

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιαν 14, 2015 6:03 pm**

gbaloglou έγραψε: Πέρασαν οι διακοπές ... και δεν εμφανίστηκε κάποια 'μαγική' προσέγγιση που να αποφεύγει την έννοια της αναλογίας (είτε άμεσα μέσω ομοίων τριγώνων είτε έμμεσα μέσω τριγωνομετρίας): αναστρέφοντας την κατάσταση θα έλεγα ότι το καταπληκτικό αυτό πρόβλημα που μας έστειλε ο Γιώργος Ρίζος (δεν ξέρω πόσο γνωστό είναι στους καθηγητές Γυμνασίου) θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί ως προεισαγωγή στα όμοια τρίγωνα -- δείχνεις δηλαδή στους μαθητές ένα πρόβλημα που εύκολα κατανοούν* αλλά δεν έχουν τα μέσα να επιλύσουν ... ως κίνητρο για την εισαγωγή αυτών των μέσων. (Δεν ξέρω ως ποιο βαθμό χρησιμοποιούνται τέτοιες προεισαγωγές στα σχολικά κλπ βιβλία, αλλά νομίζω πως είναι πολύ καλή ιδέα -- συχνά ο μαθητής δεν μπορεί να ξεκολλήσει από το "μα γιατί τα μαθαίνουμε αυτά".)

*εδώ θα πρότεινα ακόμη και πειραματική επαλήθευση της ισότητας εμβαδών (μετρήσεις πλευρών με ακρίβεια χιλιοστού, κλπ)

Γιώργος Μπαλόγλου

Καλησπέρα σε όλους! Γιώργο ευχαριστώ για τα καλά σου λόγια!
Oμολογώ ότι αγνοώ αν το πρόβλημα είναι γνωστό, (είτε δεν το έχω δει κάπου, είτε η μνήμη μου δεν το έχει συγκρατήσει).

Μού δημιουργήθηκε η διάθεση για διερεύνηση της συμπεριφοράς των ενδιάμεσων τιμών, βλέποντας το σχόλιο του Θανάση στο αρχικό πρόβλημα του Παύλου. Κατασκευάζοντας το δυναμικό σχήμα στο (συνημμένο σε παραπάνω ανάρτηση) αρχείο Geogebra, προέκυψε το παραπάνω θέμα. Όταν είδα ότι τα εμβαδό είναι σταθερό, αν και το υποψιαζόμουν, εξεπλάγην ευχάριστα.

Η ιδέα του Γιώργου για διδακτική αξιοποίηση είναι ΕΞΑΙΡΕΤΙΚΗ και προτίθεμαι να την υλοποιήσω.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιαν 15, 2015 12:01 am**

Για το πρόβλημα μου μίλησε ο καλός φίλος Γιώργος Ρίζος, επειδή αυτές τις μέρες είχα "το νου μου αλλού".
Θα δώσω μία λύση που βασίζεται στην έννοια της μονάδας μέτρησης εμβαδού.
Στο σχήμα που επισυνάπτω, έχω προεκτείνει την

και την

, οι οποίες τέμνονται στο σημείο

.
Ονομάζουμε (KPQ)=a

το εμβαδόν του τριγώνου, το οποίο θεωρούμε ως μονάδα μέτρησης όλων των εμβαδών των σχημάτων.
Ισχύει KQ=1/3

. Επειδή τρίγωνο ABS

= τρίγωνο

και

σημαίνει ότι οι πλευρές του τριγώνου NKP

είναι τριπλάσιες σε μήκος από αυτές του KPQ

.
Άρα,

ομοίως

και

Όμως

Άρα, η ποσότητα a=3/180=1/60

Αυτό σημαίνει ότι (AOK)=81a=81/60=27/20

και ότι

.

Ανδρέας Πούλος

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιαν 19, 2015 4:38 pm**

Γιώργος Ρίζος έγραψε:
gbaloglou έγραψε: Πέρασαν οι διακοπές ... και δεν εμφανίστηκε κάποια 'μαγική' προσέγγιση που να αποφεύγει την έννοια της αναλογίας (είτε άμεσα μέσω ομοίων τριγώνων είτε έμμεσα μέσω τριγωνομετρίας): αναστρέφοντας την κατάσταση θα έλεγα ότι το καταπληκτικό αυτό πρόβλημα που μας έστειλε ο Γιώργος Ρίζος (δεν ξέρω πόσο γνωστό είναι στους καθηγητές Γυμνασίου) θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί ως προεισαγωγή στα όμοια τρίγωνα -- δείχνεις δηλαδή στους μαθητές ένα πρόβλημα που εύκολα κατανοούν* αλλά δεν έχουν τα μέσα να επιλύσουν ... ως κίνητρο για την εισαγωγή αυτών των μέσων. (Δεν ξέρω ως ποιο βαθμό χρησιμοποιούνται τέτοιες προεισαγωγές στα σχολικά κλπ βιβλία, αλλά νομίζω πως είναι πολύ καλή ιδέα -- συχνά ο μαθητής δεν μπορεί να ξεκολλήσει από το "μα γιατί τα μαθαίνουμε αυτά".)

*εδώ θα πρότεινα ακόμη και πειραματική επαλήθευση της ισότητας εμβαδών (μετρήσεις πλευρών με ακρίβεια χιλιοστού, κλπ)

Γιώργος Μπαλόγλου
Καλησπέρα σε όλους! Γιώργο ευχαριστώ για τα καλά σου λόγια!
Oμολογώ ότι αγνοώ αν το πρόβλημα είναι γνωστό, (είτε δεν το έχω δει κάπου, είτε η μνήμη μου δεν το έχει συγκρατήσει).

Μού δημιουργήθηκε η διάθεση για διερεύνηση της συμπεριφοράς των ενδιάμεσων τιμών, βλέποντας το σχόλιο του Θανάση στο αρχικό πρόβλημα του Παύλου. Κατασκευάζοντας το δυναμικό σχήμα στο (συνημμένο σε παραπάνω ανάρτηση) αρχείο Geogebra, προέκυψε το παραπάνω θέμα. Όταν είδα ότι τα εμβαδό είναι σταθερό, αν και το υποψιαζόμουν, εξεπλάγην ευχάριστα.

Η ιδέα του Γιώργου για διδακτική αξιοποίηση είναι ΕΞΑΙΡΕΤΙΚΗ και προτίθεμαι να την υλοποιήσω.

Γιώργο με την σειρά μου ευχαριστώ, επισημαίνοντας πάντως ότι η συζήτηση πήρε αυτήν την πολύ ευχάριστη τροπή ύστερα από την εύστοχη παρατήρηση-υποψία ενός μαθητή όχι Β αλλά Α Γυμνασίου (που ξέρει πάντως και την Τριγωνομετρία του)

[Όλα δείχνουν ότι είναι άγνωστη η γενίκευση σου, και αυτό είναι υπέροχο!]

Γιώργος Μπαλόγλου

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Αύγ 14, 2015 11:36 pm**

gbaloglou έγραψε:
Πέρασαν οι διακοπές ... και δεν εμφανίστηκε κάποια 'μαγική' προσέγγιση που να αποφεύγει την έννοια της αναλογίας (είτε άμεσα μέσω ομοίων τριγώνων είτε έμμεσα μέσω τριγωνομετρίας) ...

Και να που ξαναήλθαν διακοπές... Η παρακάτω απλή προσέγγιση, (απορώ πως δεν την είδαμε τόσο καιρό!) δεν αναιρεί τίποτα από την όμορφη ιδέα του Γιώργου. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί το παράδειγμα ως άμεση εφαρμογή της ομοιότητας τριγώνων.

Καλό Δεκαπενταύγουστο σε όλους!

Φέρνουμε την A'B

. Τότε

, αφού έχουν ίδια βάση A'C

και ύψος.
Ομοίως, (ABCD) = 2(CA'B)

, αφού έχουν ίδια βάση

και ύψος.
Άρα (ABCD) = (A'EZC)

.

edit: Προφανώς, η παραπάνω πρόταση ισχύει και όταν τα ABCD, A'EZC

είναι πλάγια παραλληλόγραμμα. Πιο αναλυτικά, υπόσχομαι, όταν επιστρέψω κι έχω σταθερή σύνδεση.

edit: Πρόσθεσα ένα

, που είχε ξεφύγει. Ευχαριστώ τον Γιώργο Μπαλόγλου που το πρόσεξε.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Αύγ 20, 2015 10:15 am**

Γιώργος Ρίζος έγραψε:
gbaloglou έγραψε:
Πέρασαν οι διακοπές ... και δεν εμφανίστηκε κάποια 'μαγική' προσέγγιση που να αποφεύγει την έννοια της αναλογίας (είτε άμεσα μέσω ομοίων τριγώνων είτε έμμεσα μέσω τριγωνομετρίας) ...
Και να που ξαναήλθαν διακοπές... Η παρακάτω απλή προσέγγιση, (απορώ πως δεν την είδαμε τόσο καιρό!) δεν αναιρεί τίποτα από την όμορφη ιδέα του Γιώργου. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί το παράδειγμα ως άμεση εφαρμογή της ομοιότητας τριγώνων.

Καλό Δεκαπενταύγουστο σε όλους!

Φέρνουμε την . Τότε , αφού έχουν ίδια βάση και ύψος.
Ομοίως, , αφού έχουν ίδια βάση και ύψος.
Άρα .

edit: Προφανώς, η παραπάνω πρόταση ισχύει και όταν τα είναι πλάγια παραλληλόγραμμα. Πιο αναλυτικά, υπόσχομαι, όταν επιστρέψω κι έχω σταθερή σύνδεση.

edit: Πρόσθεσα ένα , που είχε ξεφύγει. Ευχαριστώ τον Γιώργο Μπαλόγλου που το πρόσεξε.

Γιώργο εντυπωσιακό στην απλότητα του! [Γιατί μας ξέφευγε ως τώρα; Μας λέει κάτι το συμβάν; Θα είχε ίσως ενδιαφέρον, και στα πλαίσια της προεισαγωγής στα όμοια τρίγωνα που πρότεινα, να δοθεί στους μαθητές ως άτυπη άσκηση στο σπίτι και να δούμε αν και πόσοι σκεφτούν την λύση του Γιώργου (που είναι απόλυτα γυμνασιακή, νομίζω).]

...Θυμίζω εδώ ότι το πρόβλημα αυτό έγινε κάρτα που μοιράστηκε στην Μαθηματική Εβδομάδα και στην Διημερίδα Γεωμετρίας: δεν θα εμφανιστεί σε άλλο συνέδριο, όποιος όμως επιθυμεί να λάβει κάρτα μπορεί να μου στείλει την διεύθυνση του (είτε με προσωπικό μήνυμα εδώ είτε στον gbaloglou στο gmail).

Γιώργο σ' ευχαριστούμε τόσο για την πολύ όμορφη ιδέα όσο και για την κάθαρση του δράματος!

Γιώργος Μπαλόγλου

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Οκτ 05, 2015 8:16 pm**

Προσθέτω και μία 'χωρίς λόγια' λύση από τον εξάδελφο μου και συνεργάτη μου Πάνο Παπαδόπουλο

mathematica.gr

Eμβαδά τριγώνων

Eμβαδά τριγώνων

Re: Eμβαδά τριγώνων

Re: Eμβαδά τριγώνων

Re: Eμβαδά τριγώνων

Re: Eμβαδά τριγώνων

Re: Eμβαδά τριγώνων

Re: Eμβαδά τριγώνων

Re: Eμβαδά τριγώνων

Re: Eμβαδά τριγώνων

Re: Eμβαδά τριγώνων

Re: Eμβαδά τριγώνων

Re: Eμβαδά τριγώνων

Re: Eμβαδά τριγώνων

Re: Eμβαδά τριγώνων

Re: Eμβαδά τριγώνων

Re: Eμβαδά τριγώνων

Re: Eμβαδά τριγώνων

Re: Eμβαδά τριγώνων

Re: Eμβαδά τριγώνων