mathematica.gr

Δύο όμορφες κατασκευές.

1) (Μ. Ι. Τ.) Από σημείο Α, που δεν ευρίσκεται επί ευθείας ε, να κατασκευάσετε κάθετη σε αυτή, χρησιμοποιώντας μόνο μία φορά κύκλο (ή τμήμα κύκλου) και χρησιμοποιώντας όσες ευθείες χρειάζεστε.

2) Από σημείο Α, που ευρίσκεται επί ευθείας ε, να κατασκευάσετε κάθετη σε αυτή, χρησιμοποιώντας μόνο δύο φορές κύκλο (ή τμήμα κύκλου) και χρησιμοποιώντας όσες ευθείες χρειάζεστε (ή το πολύ δύο φορές κύκλο; (O.Q.)) .

S.E.Louridas

Καλησπέρα!
1). εστω το Μ βρίσκεται εκτος ευθείας, φέρνουμε έναν κύκλο με διάμετρο ΑΒ (όπου τα Α και Β είναι 2 σημεία πάνω στην ευθεία ε) ύστερα φέρνουμε την ΑΝ που τέμνει τον κύκλο στο Ν και την ΒΚ που τέμνει τον κύκλο στο Κ, οπότε έχουμε μοίρες γιατί είναι εγγεγραμμένες στη διαμετρο και συγχρόνως το Ο είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου ΒΑΜ οπότε η ΜΟ είναι κάθετη προς την ΑΒ.
ΥΓ. Σε λίγο πιο... αναλυτικά!!!

Stavroulitsa, για να φέρεις κύκλο με διάμετρο ΑΒ πρέπει να βρεις το μέσο του
Πώς θα το βρείς χωρίς χρήση άλλου κύκλου ?

Edit: Η παραπάνω παρατήρηση μου είναι τελείως λάθος Ζητώ συγγνώμη για όποιον πιθανώς μπέρδεψα

dimitris pap έγραψε:Stavroulitsa, για να φέρεις κύκλο με διάμετρο ΑΒ πρέπει να βρεις το μέσο του
Πώς θα το βρείς χωρίς χρήση άλλου κύκλου ?

Σταυρούλα , μη μας μπερδεύει ο Δημήτρης.

Γράφουμε ( τον ) έναν τυχαίο κύκλο που έχει το κέντρο του πάνω στην δοσμένη ευθεία, ο οποίος την τέμνει στα σημεία και

Αλλά και αν τύχει να είναι μακριά ο κύκλος από το σημείο ( γιατί άλλωστε να είναι ; ), πάλι δεν υπάρχει πρόβλημα.

Κώστας Βήττας

Ωχ μπερδεύτηκα πλήρως! (και να πεις ότι δεν έχω ξαναδεί το πρόβλημα... )

Ζητώ συγγνώμη και διορθώνω το προηγούμενο ποστ για να μη μπερδευτεί κανένας!

(αυτά παθαίνει κανείς όταν βιάζεται να απντήσει πριν κάνει restart το pc του λολ)

Για το 1ο πρόβλημα υπάρχει και ο παρακάτω (πιο πολύπλοκος) τρὀπος • Γράφω κύκλο με κέντρο το Α που τέμνει την (ε) στα Β και Γ
• Από την ΒΑ και ΓΑ βρίσκω τα σημεία Δ και Ε του κύκλου. Τότε το ΒΓΔΕ είναι προφανώς ορθογώνιο
• Παίρνω τυχαίο σημείο Κ στην (ε) και από την ΚΑ βρίσκω το Λ
• Από την ΛΓ βρίσκω το Ζ
• Από την ΕΖ βρίσκω τα Σ και Η
• Από την ΒΣ βρίσκω το Μ
• Ισχυρίζομαι ότι η ΜΑ είναι η ζητούμενη
διότι :
• Τα τρίγωνα ΕΒΓ και ΛΚΒ ορίζουν πλήρες τετράπλευρο
• Τότε τα Σ,Η,Ε,Ζ είναι συζυγή αρμονικά • Άρα η δέσμη με κορυφή το Β και ακτίνες
τα προηγούμενα σημεία είναι αρμονική
• Όμως η ΕΔ // ΒΚ (ακτίνα της δέσμης)
• Άρα το Μ είναι μέσον της ΒΚ
• Οπότε πράγματι η ΜΑ είναι η κάθετη προς την ευθεία (ε)

S.E.Louridas έγραψε:2) Από σημείο Α, που ευρίσκεται επί ευθείας ε, να κατασκευάσετε κάθετη σε αυτή, χρησιμοποιώντας μόνο δύο φορές κύκλο (ή τμήμα κύκλου) και χρησιμοποιώντας όσες ευθείες χρειάζεστε (ή το πολύ δύο φορές κύκλο; (O.Q.)) .

Έστω ( αντί του ) το σημείο επί δοσμένης ευθείας και τα άκρα της διαμέτρου ( σημεία της ) τυχαίου ημικυκλίου το οποίο γράφεται με κέντρο σημείο επί της και έτσι ώστε το να βρίσκεται μεταξύ των ( ).

Έστω τυχαίο σημείο εκτός της και τα σημεία και όπου είναι τυχαίο σημείο μεταξύ των

Από το πλήρες τετράπλευρο προκύπτει ότι το σημείο είναι το αρμονικό συζυγές του ως προς τα

Από το σημείο φέρνουμε τυχαία ευθεία η οποία τέμνει το ημικύκλιο στα σημεία έστω ( το μεταξύ των ) και έστω τα σημεία και

Από και έχουμε ότι το είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου και προκύπτει έτσι ότι

Η ευθεία τώρα στο πλήρες τετράπλευρο περνάει από το σημείο το αρμονικό συζυγές του ως προς τα και το πρόβλημα έχει λυθεί.

Κώστας Βήττας.

Για λόγους Μαθηματικής πολυφωνίας παραθέτω και την αποψή μου.

Έστω ημικύκλιο διαμέτρου Β,Γ (σημεία της ε) κέντρου Α.Στο ίδιο ημιεπίπεδο που ανήκει η περιφέρεια αυτή θεωρούμε ημιευθεία Αψ που τέμνει το ημικύκλιο στο σημείο Δ.
Με κέντρο το σημείο Γ και ακτίνα ΒΔ γράφουμε κύκλο που τέμνει το ημικύκλιο στο σημείο Ε.
Θεωρούμε σημείο Ζ της ε διάφορο από τα προηγούμενα σημεία και δύο ημιευθείες με κορυφή το Ζ που τέμνουν τις ημιευθείες AΔ και AΕ ,η πρώτη στα σημεία Η,Θ και η δεύτερη στα σημεία Ι,Κ .Αν Σ η τομή των ΗK και ΙΘ, η ΣΑ είναι η ζητούμενη ευθεία.

Υ.Γ.
Εκανα την τυπογραφική διόρθωση αντικαθιστώντας τις ΒΔ, ΓΕ από τις AΔ και AΕ που είναι το σωστό.
Ευχαριστώ

S.E.Louridas

S.E.Louridas έγραψε:Έστω ημικύκλιο διαμέτρου Β,Γ (σημεία της ε) κέντρου Α.Στο ίδιο ημιεπίπεδο που ανήκει η περιφέρεια αυτή θεωρούμε ημιευθεία Αψ που τέμνει το ημικύκλιο στο σημείο Δ.
Με κέντρο το σημείο Γ και ακτίνα ΒΔ γράφουμε κύκλο που τέμνει το ημικύκλιο στο σημείο Ε.
θεωρούμε σημείο Ζ της ε διάφορο από τα προηγούμενα σημεία και δύο ημιευθείες με κορυφή το Ζ που τέμνουν τις ημιευθείες ΒΔ και ΓΕ ,η πρώτη στα σημεία Η,Θ και η δεύτερη στα σημεία Ι,Κ .Αν Σ η τομή των ΗΣ και ΙΘ, η ΣΑ είναι η ζητούμενη ευθεία.

Σωτήρη καλησπέρα.

Αν καταλαβαίνω καλά ( γιατί μπερδεύτηκα με τις ημιευθείες από το ), μπορεί το να είναι το σημείο τομής των

Από το ισοσκελές τραπέζιο ( το προς το μέρος του , ως προς τη μεσοκάθετη του ), έχουμε .

Κώστας Βήττας.

Επιτρέψτε μου μία εξήγηση στην διαπραγμάτευση μου.
Είναι καθαρό οτι ,αν Ω το σημείο τομής των ΗΘ και ΑΣ τα σημεία Ζ, Ω είναι αρμ. συζυγή των Η, Θ (πλήρες τετράπλευρο κ.τ.λ.) με
<ΔΑΖ=<ΕΑΓ.Αυτό μας οδηγεί στην καθετότητα της εσωτερικής διχοτόμου με την εξωτερική ....

S.E.Louridas

Σταυρουλίτσα
Αν πέρα από το Μεγάλο Μαθηματικό ταλέντο που αμεσα φαίνεται οτι έχεις ,είχες και λίγο περισσότερη εμπειρία θα έκανες στόν εαυτό σου την ερώτηση:Πού ξέρω οτι μία από τις ΜΑ, ΜΒ δεν είναι εφαπτόμενη στο κύκλο;
Συμπέρασμα:
Κάνουμε οτι ακριβώς έκανες αλλά σε κύκλο που το σημείο Μ να είναι ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του σημείο.
Και πάλι μπράβο σου.

S.E.Louridas