mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιαν 22, 2015 12:23 am**

Να βρεθεί η μέγιστη τιμή της παράστασης $\displaystyle{A = \frac{x}{4029 + y^{2014}} + \frac{y}{4029 + x^{2014}}}$ , για $x,y \in \left[0,1 \right]$ .

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Φεβ 08, 2015 5:26 pm**

Καλησπέρα.

Από την ανισότητα ΑΜ-ΓΜ ισχύει $\displaystyle{x^{2014}+\underbrace{1+1+...+1+1}_\text{2013}\geq 2014x}$ .Ομοίως και για το $\displaystyle{y}$ .

Από τα παραπάνω παίρνουμε $\displaystyle{A\leq \frac{x}{2016+2014y}+\frac{y}{2016+2014x}}$ .Έστω $\displaystyle{f(x)=\frac{x}{1008+1007y}+\frac{y}{1008+1007x}}$ .

Παραγωγίζουμε και παίρνουμε $\displaystyle{f'(x)=\frac{1}{1008+1007y}-\frac{1007y}{(1008+1007x)^{2}}}$ .Επομένως $\displaystyle{f''(x)=\frac{2014y\cdot 1007}{(1008+1007y)^{3}}>0}$ .

Άρα η $\displaystyle{f}$ είναι κυρτή επομένως παρουσιάζει μέγιστο σε κάποιο από τα άκρα του κλειστού διαστήματος στο οποίο ορίζεται (εδώ το $\displaystyle{[0,1]}$ ).

Άρα όλες οι μεταβλητές θα πρέπει να βρίσκονται στα άκρα δηλαδή $\displaystyle{x,y\in \{0,1\}}$ .Με δοκιμές βρίσκουμε ότι το ζεύγος $\displaystyle{(x,y)=(1,1)}$ δίνει τη μέγιστη τιμή στην

παράσταση,η οποία είναι η $\displaystyle{A_{\max}=\frac{1}{2015}}$ .

$\rule{430pt}{1pt}$

Το θεώρημα που χρησιμοποίησα είναι το εξής:

Έστω $\displaystyle{F(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$ πραγματική συνάρτηση ορισμένη στο $\displaystyle{[a,b]\times [a,b]\times \ldots \times [a,b]}$ και τέτοια ώστε αν θεωρήσουμε σταθερές οποιεσδήποτε από τις $\displaystyle{n}$ μεταβλητές τότε η συνάρτηση που ορίζεται από την μεταβλητή που δε θεωρούμε σταθερή είναι κυρτή.Τότε το μέγιστο και το ελάχιστο της $\displaystyle{F}$ επιτυγχάνεται αν όλες οι μεταβλητές βρίσκονται στα άκρα του διαστήματος ορισμού.

Βλέπω ότι ο Σιλουανός έδωσε μια στοιχειώδη λύση εδώ.Αφήνω και τη δική μου για να προβληθεί το όχι και τόσο γνωστό θεώρημα που χρησιμοποιώ.

mathematica.gr

Επίκαιρο μέγιστο

Επίκαιρο μέγιστο

Re: Επίκαιρο μέγιστο