mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιαν 28, 2015 1:34 pm**

Δε ξέρω αν είναι ο σωστός φάκελος.Αν δεν ειναι μετακινήστε το.

Έστω $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ συνάρτηση τέτοια ώστε για κάθε x,y

διαφορετικούς πραγματικούς αριθμούς ισχύει:
|f(x)-f(y)|>1

.Να δείξετε ότι δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιαν 28, 2015 5:05 pm**

Ας υποθέσουμε ότι μία τέτοια συνάρτηση υπάρχει. Προφανώς θα είναι 1-1 και επομένως το σύνολο τιμών της είναι υπεραριθμήσιμο. Κάθε διάστημα $\left[ m,m+1\right]$ , $m \in \mathbb{Z}$ περιέχει το πολύ ένα στοιχείο του συνόλου τιμών της

. Άρα το $\mathbb{R}=\bigcup\limits_{m\in \mathbb{Z}}\left[ m,m+1\right]$ περιέχει αριθμήσιμο πλήθς τιμών της

. Άτοπο.
Μαυρογιάννης

mathematica.gr

Δεν υπάρχει συνάρτηση

Δεν υπάρχει συνάρτηση

Re: Δεν υπάρχει συνάρτηση