mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Φεβ 04, 2015 10:13 pm**

Έστω

δύο πεπερασμένα παραγόμενοι διανυσματικοί χώροι επί του $\mathbb{F}$ (τυχόν σώμα) και $f:V \rightarrow W$ γραμμική απεικόνιση. Έστω ότι υπάρχει μοναδική γραμμική $g:W \rightarrow V$ με $f \circ g=1_W$ . Να δείξετε ότι η

είναι ισομορφισμός.

η ταυτοτική απεικόνιση από το στο .

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Φεβ 06, 2015 9:38 pm**

opener έγραψε:Έστω δύο πεπερασμένα παραγόμενοι διανυσματικοί χώροι επί του $\mathbb{F}$ (τυχόν σώμα) και $f:V \rightarrow W$ γραμμική απεικόνιση. Έστω ότι υπάρχει μοναδική γραμμική $g:W \rightarrow V$ με $f \circ g=1_W$ . Να δείξετε ότι η είναι ισομορφισμός.

η ταυτοτική απεικόνιση από το στο .

Κατ΄αρχάς η

είναι επί του

διότι αν $w \in W$ τότε f(g(w))=w

.
Άρα $\dim U\geq \dim W$ . Θα δείξουμε ότι ισχύει η ισότητα. Αν όχι ας υποθέσουμε ότι $\dim U=n>m=\dim W$ . Θεωρούμε μία βάση $u_{1},...,u_{n}$ που κανένα στοιχείο της δεν περιέχεται στον πυρήνα της

. Μιά τέτοια βάση μπορεί να βρεθεί αν ξεκινήσουμε από μία οποιαδήποτε βάση επιλέξουμε ένα στοιχείο της που δεν ανήκει στον πυρήνα της

(υπάρχει πάντα τέτοια αφούη η

δεν είναι μηδενική) και το προσθέσουμε σε όσα τυχόν στοιχεία της βάσης ανήκουν στον πυρήνα.Τα $f\left( u_{1}\right) ,...,f\left( u_{n}\right)$ είναι μη μηδενικά στοιχεία του

που παράγουν το

. Επιλέγουμε ένα από αυτά και το συμπληρώνουμε σε μία βάση του

από αυτά τα σοιχεία. Χάριν απλότητας ας πούμε ότι επιλέξαμε το $f\left( u_{1}\right)$ και το συμπληρώσαμε σε βάση του

με τα $f\left( u_{1}\right) ,...,f\left( u_{m}\right)$ .
Ορίζουμε την γραμμική απεικόνιση

από το

στο

που απεικονίζει το $f\left( u_{i}\right)$ στο $u_{i}$ . Προφανώς ισχύει $\sum\limits_{i=1}^{m}c_{i}f\left( u_{i}\right)$ και επομένως η

έχει την ιδιότητα $f\circ g=1_{W}$ .
Θα δείξουμε ότι αυτή η

δεν είναι μοναδική. Για το $f\left( u_{m+1}\right)$ που δεν περιλαμβάνεται στην ΄βάση του

που θεωρήσαμε θα ισχύει $f\left( u_{m+1}\right) =\sum\limits_{i=1}^{m}c_{i}f\left( u_{i}\right)$ και $g\left( f\left( u_{m+1}\right) \right) =\sum\limits_{i=1}^{m}c_{i}u_{i}$ . Αν όμως συμπληρώναμε την βάση ξεκινώντας από το $f\left( u_{m+1}\right)$ θα καταλήγαμε σε μία

που θα "έστελνε" το $f\left( u_{m+1}\right)$ στο $\sum\limits_{i=1}^{m}c_{i}u_{i}$ $u_{m+1}$ . Τα $\sum\limits_{i=1}^{m}c_{i}u_{i}$ και $u_{m+1}$ λόγω της γραμμικής ανεξαρτησίας των $u_{1},...,u_{n}$ είναι διαφορετικά. Άρα η

με την ιδιότητα $f\circ g=1_{W}$ πράγματι δεν θα είναι μοναδική. Άτοπο.

Άρα $\dim U=\dim W$ και η

είναι ισομορφισμός.

Μαυρογιάννης

mathematica.gr

Νδο f ισομορφισμός

Νδο f ισομορφισμός

Re: Νδο f ισομορφισμός