mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μαρ 11, 2015 4:49 pm**

Αν

με $\displaystyle{abc \ne 0}$ , να αποδείξετε ότι:

1) $\displaystyle{\frac{{{a^4}}}{{{b^3} + {c^3} - 3abc}} + \frac{{{b^4}}}{{{a^3} + {c^3} - 3abc}} + \frac{{{c^4}}}{{{a^3} + {b^3} - 3abc}} = 0}$

2) $\displaystyle{\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{{a^3} + {b^3} + {c^3}}} + \frac{2}{3}\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) = 0}$

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μαρ 11, 2015 7:09 pm**

Καλησπέρα και πάλι.
Για την πρώτη έχουμε
$\displaystyle{b^3+c^3-3abc=(b+c)(b^2-bc+c^2)=-a[(b+c)^2-3bc]-3abc=-a(a^2-3bc)-3abc=-a^3+3abc-3abc=-a^3(1)}$ .
Ομοίως παίρνουμε και $\displaystyle{a^3+c^3-3abc=-b^3(2), a^3+b^3-3abc=-c^3(3)}$ .
Επομένως, λόγω των σχέσεων (1), (2) και (3) η ισότητα που θέλουμε να αποδείξουμε είναι ισοδύναμη με την
$\displaystyle{\frac{a^4}{-a^3}+\frac{b^4}{-b^3}+\frac{c^4}{-c^3}=0\Leftrightarrow -a-b-c=0\Leftrightarrow -(a+b+c)=0}$ , που ισχύει.
Για τη δεύτερη θα είναι $\displaystyle{a+b+c=0\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=3abc}$ (από γνωστή ταυτότητα).
Άρα αρκεί να αποδείξουμε ότι
$Εικόνα$ , που ισχύει.
Κωνσταντίνος Τερζής

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Μαρ 12, 2015 1:29 am**

Πολύ ωραία

Με τις ίδιες συνθήκες, a+b+c=0

, $abc \ne 0$ να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης:

$\displaystyle{A = \frac{{{a^3} + {b^3} + {c^3} - 3ab(c + 2)}}{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}}$

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Μαρ 12, 2015 5:39 pm**

Ας αφήσω την ευκαιρία σε κάποιον άλλον μιας και είμαι Α' Λυκείου.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Μαρ 24, 2016 3:54 pm**

george visvikis έγραψε:Πολύ ωραία

Με τις ίδιες συνθήκες, , $abc \ne 0$ να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης:

$\displaystyle{A = \frac{{{a^3} + {b^3} + {c^3} - 3ab(c + 2)}}{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}}$

Μία προσπάθεια:

Ο αριθμητής γίνεται:

3abc-3ab(c+2)=

Ο παρονομαστής τώρα:

(a+b)^2-2ab-c^2=

Τέλος,

$\displaystyle\frac{-6ab}{-2ab}=3$

Edit: διορθώθηκε το λάθος ύστερα απο την παρατήρηση του christodoulos703 τον οποίο ευχαριστώ πολυ.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Αύγ 29, 2016 11:57 pm**

Πολύ ωραίες και οι δύο εκφωνήσεις.

Λίγο πρόχειρα,η προηγούμενη παράσταση ισούται με 3 αν το υπολόγισα σωστά.Σημειωση: Ταυτότητα Euler

Φιλικά,
Χριστοδουλος.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Αύγ 30, 2016 12:03 am**

Να επισημάνω ότι του Γιωργου ή λυση είναι λάθος γιατί μπέρδεψε τα πρόσημα στον αριθμητή.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Σεπ 07, 2016 2:07 pm**

Να επισημάνω ότι οι άσκησεις που πρότεινε ο Γιωργος υπάρχουν και στο βιβλίο του Χαραλαμπου Στεργιου για τις Ολυμπιάδες Μαθηματικών για την Α λυκείου και ήταν σε διαγωνισμό στη Σλοβενια το 1995.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Σεπ 07, 2016 7:20 pm**

christodoulos703 έγραψε:Να επισημάνω ότι οι άσκησεις που πρότεινε ο Γιωργος υπάρχουν και στο βιβλίο του Χαραλαμπου Στεργιου για τις Ολυμπιάδες Μαθηματικών για την Α λυκείου και ήταν σε διαγωνισμό στη Σλοβενια το 1995.

Αν αυτές οι ασκήσεις μπήκαν σε διαγωνισμό στη Σλοβενία το 1995

, τότε να επισημάνω ότι δεν ήταν καθόλου πρωτότυπες

αφού τις είχαμε ήδη κάνει στο φροντιστήριο με τον καθηγητή μου Λάζαρο Θρουμουλόπουλο το 1971!!!

mathematica.gr

Αποδεικτική με συνθήκη

Αποδεικτική με συνθήκη

Re: Αποδεικτική με συνθήκη

Re: Αποδεικτική με συνθήκη

Re: Αποδεικτική με συνθήκη

Re: Αποδεικτική με συνθήκη

Re: Αποδεικτική με συνθήκη

Re: Αποδεικτική με συνθήκη

Re: Αποδεικτική με συνθήκη

Re: Αποδεικτική με συνθήκη