mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μάιος 16, 2015 8:20 pm**

Καλο απόγευμα σε όλα τα μέλη του

Λίγο πρίν την έναρξη των εξετάσεων ένα διαγώνισμα προσομοίωσης στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης.
Καλή δύναμη και επιτυχία σε όλους τους υποψήφιους !!!

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μάιος 17, 2015 11:00 pm**

Επαναφέρω το διαγώνισμα προσομοίωσης του Σαββάτου με διόρθωση στο διάστημα του Δ θέματος
[e,2e] αντί [1,e]

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μάιος 18, 2015 8:25 am**

Μια λύση για το Β2

Β2. Δίνονται οι μιγαδικοί z , w για τους οποίους ισχύουν :
$\displaystyle{\left| {{{\rm{z}}^{\rm{2}}}{\rm{ - 5z + 4}}} \right| = 2{\left| {{\rm{z - 1}}} \right|^2} + 3{\left| {\rm{z}} \right|^2} - 12}$ και $\displaystyle{\left| {{w^{\rm{2}}}} \right| + \left| {{{\rm{w}}^{\rm{2}}}{\rm{ - 9}}} \right| = 41}$
Δείξτε ότι : α) $\displaystyle{\left| {{\rm{z}} - 4} \right| = 2\left| {{\rm{z}} - 1} \right|}$ και στη συνέχεια ότι $\displaystyle{\left| {\rm{z}} \right| = 2}$
β) Ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών $\displaystyle{w}$
είναι η έλλειψη
με εστίες τα σημεία $\displaystyle{E(3,0),E'( - 3,0)}$ και μήκος μεγάλου άξονα $\displaystyle{10}$ .

Λύση

α) Είναι : $\displaystyle{\left| {{{\rm{z}}^{\rm{2}}}{\rm{ - 5z + 4}}} \right| = 2{\left| {{\rm{z - 1}}} \right|^2} + 3{\left| {\rm{z}} \right|^2} - 12 \Leftrightarrow |z - 1||z - 4| = 2{\left| {{\rm{z - 1}}} \right|^2} + 3{\left| {\rm{z}} \right|^2} - 12\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)}$
Θέτω : $\displaystyle{|z - 1| = k \ge 0\,\,\,,\,|z - 4| = m \ge 0}$
Τότε :
$\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} |z - 1| = k \\ |z - 4| = m \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} |z - 1{|^2} = {k^2} \\ |z - 4{|^2} = {m^2} \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {|z{|^2} - 2{\mathop{\rm Re}\nolimits} (z) = {k^2} - 1} \\ {|z{|^2} - 8{\mathop{\rm Re}\nolimits} (z) = {m^2} - 16} \\ \end{array}} \right.}$
Επομένως :
$\displaystyle{3|z{|^2} = 4{k^2} - {m^2} + 12\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)}$
Στη συνέχεια ,από
$\displaystyle{(1) \wedge (2) \Rightarrow km = 2{k^2} + 4{k^2} - {m^2} + 12 - 12 \Rightarrow {m^2} + km - 6{k^2} = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)}$
που είναι τριώνυμο ως προς $\displaystyle{\,m}$ και δίνει :
$\displaystyle{m = - 3k\,\,\,}$ (που απορρίπτεται ) ή $\displaystyle{\,\,\,m = 2k}$ , οπότε :
$\displaystyle{m = 2k \Leftrightarrow |z - 4| = 2|z - 1|}$
και τέλος από $\displaystyle{(2) \Rightarrow 3|z{|^2} = 4{k^2} - 4{k^2} + 12 \Rightarrow |z| = 2}$

β) Είναι : $\displaystyle{\left| {{w^{\rm{2}}}} \right| + \left| {{{\rm{w}}^{\rm{2}}}{\rm{ - 9}}} \right| = 41 \Leftrightarrow \left| {{w^{\rm{2}}}} \right| + \left| {{\rm{w + 3}}} \right|\left| {{\rm{w - 3}}} \right| = 41 \Leftrightarrow \left| {{\rm{w + 3}}} \right|\left| {{\rm{w - 3}}} \right| = 41 - \left| {{w^{\rm{2}}}} \right|}$
Τότε
$\displaystyle{\begin{array}{l} {\left( {\left| {{\rm{w + 3}}} \right| + \left| {{\rm{w - 3}}} \right|} \right)^2} = {\left| {{\rm{w + 3}}} \right|^2} + {\left| {{\rm{w - 3}}} \right|^2} + 2\left| {{\rm{w + 3}}} \right|\left| {{\rm{w - 3}}} \right| = \\ = \left| {{w^{\rm{2}}}} \right| + 2(\overline w + w) + 9 + \left| {{w^{\rm{2}}}} \right| - 2(\overline w + w) + 9 + 82 - 2\left| {{w^{\rm{2}}}} \right| = 100 \Rightarrow \\ \Rightarrow \left| {{\rm{w + 3}}} \right| + \left| {{\rm{w - 3}}} \right| = 10 \\ \end{array}}$
οπότε από τον ορισμό , ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών $\displaystyle{w}$
είναι η έλλειψη με εστίες τα σημεία $\displaystyle{E(3,0),E'( - 3,0)}$ και μήκος μεγάλου άξονα $\displaystyle{10}$ .

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιούλ 18, 2015 12:19 pm**

Υπάρχουν λύσεις όλου του διαγωνίσματος ;

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιούλ 18, 2015 12:53 pm**

exdx έγραψε: Β2. Δίνονται οι μιγαδικοί z , w για τους οποίους ισχύουν :
$\displaystyle{\left| {{{\rm{z}}^{\rm{2}}}{\rm{ - 5z + 4}}} \right| = 2{\left| {{\rm{z - 1}}} \right|^2} + 3{\left| {\rm{z}} \right|^2} - 12}$ και $\displaystyle{\left| {{w^{\rm{2}}}} \right| + \left| {{{\rm{w}}^{\rm{2}}}{\rm{ - 9}}} \right| = 41}$
Δείξτε ότι : α) $\displaystyle{\left| {{\rm{z}} - 4} \right| = 2\left| {{\rm{z}} - 1} \right|}$ και στη συνέχεια ότι $\displaystyle{\left| {\rm{z}} \right| = 2}$

Άλλη μια λύση για το Β2 α):
Κάνοντας πράξεις στο 2ο μέλος θα πάρουμε ότι :
$\displaystyle{|z-1||z-4|=2|z-1|^2+3|z|^2-12 = 2(z-1)(\bar{z}-1)+3z\bar{z} -12 = \dots = 5|z|^2-4 \rm{Re}(z)-10 }$ , άρα από το 1ο ερώτημα είναι $\displaystyle{|z-1||z-4|= 6|z-1|^2-|z-4|^2 \Leftrightarrow |z-4|^2+|z-1||z-4|-6|z-1|^2=0}$ .

Λύνοντας ως προς $\displaystyle{|z-4|}$ με διακρίνουσα, παίρνουμε ότι η επιτρεπτή λύση είναι $\displaystyle{|z-4|=2|z-1|}$ . Αντικαθιστούμε στην δεδομένη για το $\displaystyle{z}$ και θα γίνει:

$\displaystyle{|z-1||z-4|=2|z-1|^2+3|z|^2-12 \Leftrightarrow 2|z-1|^2= 2|z-1|^2+3|z|^2-12 \Leftrightarrow |z|=2 }$

mathematica.gr

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2015

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2015

Re: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2015

Re: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2015

Re: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2015

Re: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2015