mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιαν 20, 2010 11:25 pm**

Καλησπέρα σε όλους,

Σήμερα ήταν η δεύτερη διδακτική ώρα με τη Γ' Γυμνασίου στην τελευταία παράγραφο της Γεωμετρίας: "Νόμος των Ημιτόνων - Νόμος των Συνημιτόνων". Μία μαθήτρια (από τους 2 μαθητές σε σύνολο στη Γ' Γυμνασίου) προσπαθώντας να μου εξηγήσει γιατί χρησιμοποίησε τον νόμο των συνημιτόνων στην άσκηση 13, μου έδειξε ένα σχόλιο που έχει το σχολικό βιβλίο όταν ξεκινά τον Νόμο των Συνημιτόνων και το οποίο δεν είχα προσέξει (η υπογράμμιση δική μου):

"Σ' ένα τρίγωνο ΑΒΓ, αν γνωρίζουμε τις τρεις πλευρές του ή δύο πλευρές και την περιεχόμενη γωνία τους, τότε με το νόμο των ημιτόνων δεν μπορούμε να υπολογίσουμε τα υπόλοιπα στοιχεία του τριγώνου, αφού δε γνωρίζουμε μια πλευρά και την απέναντι γωνία της."

Το παραπάνω θα ήταν λανθασμένο αν υπήρχε απόδειξη η οποία να αποδεικνύει το νόμο των συνημιτόνων με τη βοήθεια του νόμου των ημιτόνων.

Επειδή το θέμα με προβλημάτισε, νομίζω ότι έχω μία απόδειξη του νόμου των Συνημιτόνων με τη βοήθεια του νόμου των ημιτόνων (χωρίς κύκλο) την οποία και παραθέτω παρακάτω:

Σε ένα τρίγωνο $AB\Gamma$ ισχύει ο νόμος των ημιτόνων δηλαδή:

$\displaystyle\frac{\alpha}{\eta\mu{A}}=\frac{\beta}{\eta\mu{B}}=\frac{\gamma}{\eta\mu{\Gamma}}=t \ \ (1)$ . Θα αποδείξουμε ότι $\alpha^2=\beta^2+\gamma^2-2\beta\gamma\sigma\upsilon\nu{A}$ (και όμοια οι υπόλοιπες σχέσεις).

Απόδειξη:

Λόγω της (1) παίρνουμε:

$\left \begin{array}{l} \alpha=t\eta\mu{A} \\ \beta=t\eta\mu{B} \\ \gamma=t\eta\mu{\Gamma} \end{array} \right \} \ \ (2)$

Οπότε

$\begin{aligned}\beta^2+\gamma^2-2\beta\gamma\sigma\upsilon\nu{A} &\stackrel{(2)}= t^2\left(\eta\mu^2{B}+\eta\mu^2{\Gamma}-2\eta\mu{B}\eta\mu{\Gamma}\sigma\upsilon\nu{A}\right) \\ &\stackrel{(\star)}{=} t^2\left[\eta\mu^2{(A+\Gamma)}+\eta\mu^2{\Gamma}-2\eta\mu{(A+\Gamma)}\eta\mu{\Gamma}\sigma\upsilon\nu{A}\right] \\ &= t^2\left[ \left(\eta\mu{A}\sigma\upsilon\nu{\Gamma}+\eta\mu{\Gamma}\sigma\upsilon\nu{A}\right)^2+\eta\mu^2{\Gamma}-2\eta\mu{A}\sigma\upsilon\nu{\Gamma}\eta\mu{\Gamma}\sigma\upsilon\nu{A}-2\eta\mu^2{\Gamma}\sigma\upsilon\nu^2{A}\right] \\ &= t^2\left(\eta\mu^2{A}\sigma\upsilon\nu^2{\Gamma}+\eta\mu^2{\Gamma}-\eta\mu^2{\Gamma}\sigma\upsilon\nu^2{A}\right) \\ &= t^2\left[\eta\mu^2{A}\sigma\upsilon\nu^2{\Gamma}+\eta\mu^2{\Gamma}(1-\sigma\upsilon\nu^2{A})\right] \\ &= t^2\left(\eta\mu^2{A}\sigma\upsilon\nu^2{\Gamma}+\eta\mu^2{\Gamma}\eta\mu^2{A}\right) \\ &= t^2\eta\mu^2{A} \\ &\stackrel{(2)}{=} \alpha^2 \end{aligned}$

$(\star)$ : Oι τύποι αθροίσματος γωνιών είναι ανεξάρτητοι από το νόμο των συνημιτόνων οπότε δεν κάνουμε κάποιο κύκλο χρησιμοποιώντας τους

Συνεπώς σύμφωνα με την παραπάνω απόδειξη, οποιαδήποτε άσκηση βγαίνει με το νόμο των Συνημιτόνων, βγαίνει και με το νόμο των Ημιτόνων (με άλλα λόγια ο νόμος των Συνημιτόνων είναι ένα πόρισμα του νόμου των Ημιτόνων).

Πιστεύω ότι πρέπει να γίνει κάποια αλλαγή σε επόμενη έκδοση του σχολικού βιβλίου.

Περιμένω τις παρατηρήσεις - σχόλιά σας!

Αλέξανδρος

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιαν 21, 2010 12:48 am**

Πολυ ομορφη και χρησιμη παρατηρηση! Ας πω και εγω οτι ισχυει και το αντιστροφο: βασιζομενοι στον Νομο των Συνημιτονων μπορουμε να αποδειξουμε τον Νομο των Ημιτονων μεσω της [ημΑ/α]^2 = [ημΒ/β]^2 = [ημΓ/γ]^2 = [2(αβ)^2 + 2(βγ)^2 + 2(γα)^2 - α^4 - β^4 - γ^4]/[4(αβγ)^2] -- αναρωτιεμαι μαλιστα αν αυτη ειναι και η πηγη γνωστης ασκησης*

*Αν α, β, γ ειναι πλευρες τριγωνου τοτε α^4 + β^4 + γ^4 < 2(αβ)^2 + 2(βγ)^2 + 2(γα)^2

Γιωργος Μπαλογλου

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιαν 21, 2010 12:51 am**

Άλέξανδρε πολύ σωστά!
Μάλιστα στην Άλγεβρα της Β Λυκείου στην άσκηση 16, Δ ομάδα, ζητείται ακριβώς αυτό.
Και στην άσκηση 18, το αντίστροφο.

Νίκος Κατσίπης

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιαν 21, 2010 1:00 am**

Κύριε Μπαλόγλου με προλάβατε πριν γράψω το αντίστροφο που πράγματι ισχύει. (Δεν ξέρω για την πηγή της ανισότητας όμως το σίγουρο είναι ότι έχουμε μία πολύ κομψή απόδειξή της!)

Νίκο δεν είχα υπόψιν αυτές τις ασκήσεις και σ' ευχαριστώ για την παραπομπή! Μάλιστα κοιτώ τώρα ότι και οι επόμενες ασκήσεις είναι σχετικές!

Συνεπώς ενισχύεται το σχόλιο που έγραψα παραπάνω και το ότι θα πρέπει να γίνει η απαραίτητη αλλαγή στο βιβλίο της Γ' Γυμνασίου αφού τελικά:

Ο Νόμος των Ημιτόνων είναι ισοδύναμος με τον Νόμο των Συνημιτόνων.

Αλέξανδρος

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιαν 21, 2010 3:31 am**

cretanman έγραψε:"Σ' ένα τρίγωνο ΑΒΓ, αν γνωρίζουμε τις τρεις πλευρές του ή δύο πλευρές και την περιεχόμενη γωνία τους, τότε με το νόμο των ημιτόνων δεν μπορούμε να υπολογίσουμε τα υπόλοιπα στοιχεία του τριγώνου, αφού δε γνωρίζουμε μια πλευρά και την απέναντι γωνία της."

Το παραπάνω θα ήταν λανθασμένο αν υπήρχε απόδειξη η οποία να αποδεικνύει το νόμο των συνημιτόνων με τη βοήθεια του νόμου των ημιτόνων.

Aλεξανδρε πολυ σωστη και χρησιμη η παραλειπομενη εκ μερους μου παρατηρηση σου για την ισοδυναμια των δυο βασικων τριγωνομετρικων νομων, ομως και το βιβλιο καλα τα λεει απο την πολυ πρακτικη σκοπια της Τριτης Γυμνασιου: δεν μπορουμε να περιμενουμε απο μαθητες να σκεφτουν σαν μαθηματικοι, να πουν "αφου ο Νομος Συνημιτονων προκυπτει απο τον Νομο Ημιτονων ΜΠΟΡΩ", να αποδειξουν τον Νομο Συνημιτονων, και εντελει να τον χρησιμοποιησουν! [Αλλωστε ο μαθητης ή΄η μαθητρια εχει παντα την δυνατοτητα επιλογης αναμεσα στους δυο νομους, ετσι δεν ειναι?]

Αν δηλαδη Α ---> Β ---> Γ, συμπεραινουμε σωστα ως μαθηματικοι οτι Α ---> Γ, αλλα επιτρεπουμε στους μαθητες μας, ή΄και στους εαυτους μας ακομη, την χρηση του Β ---> Γ για πρακτικους σκοπους ... ιδιως αν το Α ---> Β ειναι δυσαναλογα δυσκολοτερο του Β ---> Γ. [Παρομοια στην περιπτωση Α <---> Β ---> Γ, βεβαιως.]

Γιωργος Μπαλογλου

ΥΓ Λιγη Μαθηματικη Λογικη με την ευκαιρια: [ p <---> q ] ---> [ ( p ---> r ) <---> ( q ---> r ) ]

mathematica.gr

Παρατήρηση στο σχολικό βιβλιο - Νόμος συνημιτόνων

Παρατήρηση στο σχολικό βιβλιο - Νόμος συνημιτόνων

Re: Παρατήρηση στο σχολικό βιβλιο - Νόμος συνημιτόνων

Re: Παρατήρηση στο σχολικό βιβλιο - Νόμος συνημιτόνων

Re: Παρατήρηση στο σχολικό βιβλιο - Νόμος συνημιτόνων

Re: Παρατήρηση στο σχολικό βιβλιο - Νόμος συνημιτόνων