mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιαν 20, 2010 11:52 pm**

Δίνεται κλειστό σύνολο $F\subseteq {\mathbb R}$ που δεν έχει εσωτερικά σημεία. Να δειχτεί ότι υπάρχει γνήσια αύξουσα συνάρτηση $f:{\mathbb R}\to {\mathbb R}$ με συνεχή παράγωγο, τέτοια που $f^{\prime }(x)=0$ αν και μόνο αν $x\in F$ .

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιαν 21, 2010 3:57 pm**

Θα κατασκευασουμε τη μη αρνητικη, συνεχη παραγωγο της συναρτησης (με συνολο ριζων το

) και στη συνεχεια, ολοκληρωνοντας την, εχουμε τη συναρτηση μας.

Στο $\mathbb{R} - F$ μπορει να οριστει η σχεση ισοδυναμιας $xCy \Longleftrightarrow [x,y] \cap F = \emptyset$ . Οι κλασεις ισοδυναμιας, λογω της κλειστοτητας του

, ειναι αριθμησιμο πληθος ανοικτων διαστηματων, ξενων μεταξυ τους. Οριζουμε την

ως εξης :

Αν το

ανηκει σε κλαση που ειναι ανοικτο διαστημα (a,b)

, τοτε $\displaystyle f(x) = \frac{b - a}{2} - \left| x - \frac{a+b}{2} \right|$

Αν ανηκει σε κλαση της μορφης $(a, + \infty)$ τοτε f(x) = x - a

, ενω αν ανηκει σε κλαση της μορφης $(- \infty, a)$ τοτε f(x) = a - x

. Αν, τελος, ολο το $\mathbb{R}$ ειναι κλαση (κανεις δε μας λεει πως το

δεν ειναι κενο) παιρνουμε f(x) = 1

παντου.

Τελος, σε ολα τα σημεια του

οριζουμε

. (Τα συνορα των κλασεων ειναι ολα στοιχεια του

).

Διαπιστωνουμε ευκολα οτι, εκ κατασκευης, αν $|x - y| < \epsilon$ τοτε $|f(x) - f(y)| < \epsilon$ , οποτε η

ειναι (ομοιομορφα) συνεχης.

Ετσι, η $\displaystyle g(x) = \int_0^x f(t) dt$ ειναι λυση.

Δημητρης Σκουτερης

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Απρ 13, 2017 12:09 am**

Νομίζω ότι η λύση του Δημήτρη μπορεί να διατυπωθεί πιο απλά.
(Η συνάρτηση είναι ίδια)
Θέτουμε $f(x)=dist(x,F)=inf\left \{ \left | x-y \right |:y\in F \right \}$
Είναι γνωστό ότι
1) Η

είναι ομοιόμορφα συνεχής.
2) $f(x)=0\Leftrightarrow x\in F$
και όπως ο Δημήτρης η ζητούμενη είναι
$g(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt$
Το ότι είναι γνησίως αύξουσα προκύπτει από το γεγονός ότι το

δεν περιέχει διάστημα.

mathematica.gr

Γνήσια αύξουσα με προκαθορισμένο σύνολο μηδενισμού της παραγ

Γνήσια αύξουσα με προκαθορισμένο σύνολο μηδενισμού της παραγ

Re: Γνήσια αύξουσα με προκαθορισμένο σύνολο μηδενισμού της παραγ

Re: Γνήσια αύξουσα με προκαθορισμένο σύνολο μηδενισμού της παραγ