mathematica.gr

Μπορεί να το έχουμε ξαναδεί. Δεν το έψαξα, αλλά προέκυψε από την άσκηση του Θανάση ΕΔΩ.
Απλό και ωραίο σχολικό θεματάκι.

Να αποδειχθεί ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των βάσεων τραπεζίου διέρχεται από το σημείο τομής των διαγωνίων του.

Γιώργος Ρίζος έγραψε: Να αποδειχθεί ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των βάσεων τραπεζίου διέρχεται από το σημείο τομής των διαγωνίων του.

Γιώργο, χαιρετίσματα σε σένα και στους υπόλοιπους φίλους στην όμορφη Κέρκυρα.

Ωραίο θεματάκι.

Συνδέουμε το σημείο τομής των διαγωνίων με το μέσο της επάνω παράλληλης. Από το Θεώρημα του Θαλή, η δέσμη που σχηματίζεται (οι δύο διαγώνιες και αυτή που μόλις φέραμε) διέρχεται από το μέσον της άλλης παραλλήλου. ό.έ.δ.

Γιώργος Ρίζος έγραψε:Μπορεί να το έχουμε ξαναδεί. Δεν το έψαξα, αλλά προέκυψε από την άσκηση του Θανάση ΕΔΩ.
Απλό και ωραίο σχολικό θεματάκι.

Να αποδειχθεί ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των βάσεων τραπεζίου διέρχεται από το σημείο τομής των διαγωνίων του.

Καλημέρα Γιώργο,γράφω μια από τις πολλές λύσεις..

Στο τρίγωνο εφαρμόζω το αντίστροφο του θεωρήματος του

Αρκεί να αποδειχθεί ότι



Η τελευταία αναλογία είναι προφανής

Τα σημεία είναι συνευθειακά ,αφού

Αρα συντρέχουν


φιλικά Γιάννης

Γιώργος Ρίζος έγραψε:Μπορεί να το έχουμε ξαναδεί. Δεν το έψαξα, αλλά προέκυψε από την άσκηση του Θανάση ΕΔΩ.
Απλό και ωραίο σχολικό θεματάκι.

Να αποδειχθεί ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των βάσεων τραπεζίου διέρχεται από το σημείο τομής των διαγωνίων του.

Καλημέρα σε όλους.
Έστω ότι οι τέμνονται στο και τα μέσα των αντίστοιχα. Είναι , οπότε τα τρίγωνα είναι όμοια. Άρα: και επειδή , θα είναι όμοια και τα τρίγωνα
Επομένως, , δηλαδή τα σημεία είναι συνευθειακά (*), απ' όπου προκύπτει άμεσα το ζητούμενο.

(*) Επειδή η είναι ευθεία και οι γωνίες έχουν κοινή κορυφή και είναι ίσες, τότε θα είναι κατακορυφήν, δηλαδή αντικείμενες ημιευθείες.

Για την ιστορία...

Το θέμα είναι γνωστό. Στα παλαιότερα σχολικά βιβλία υπήρχε ως θεωρία ή εφαρμογή της Κεντρικής δέσμης. Ενδεικτικά αναφέρω τα παρακάτω:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Δ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ (Ι. ΙΩΑΝΝΙΔΗ - 1968)

Θεώρημα: Τρεις ή περισσότεραι μη παράλληλοι ευθείαι, αι οποίαι ορίζουν επί δύο παραλλήλων ευθειών ευθ. τμήματα ανάλογα, είναι συντρέχουσαι.

Πόρισμα: Η ευθεία η οποία ορίζεται από τα μέσα των βάσεων και τραπεζίου , διέρχεται από το κοινόν σημείον των διαγωνίων αυτού και από το κοινόν σημείον των ευθειών και
Θεωρητική Γεωμετρία β'λυκείου
(Ν. Βαρουχάκης-Δ. Παπαμιχαήλ-Α. Αλιμπινίσης-Δ. Κοντογιάννης, 1989)

Θεώρημα: Αναγκαία και ικανή συνθήκη για να συντρέχουν τρεις μη παράλληλες ευθείες είναι να ορίζουν σε δύο παράλληλες ευθείες τμήματα ανάλογα.

Εφαρμογή: Η ευθεία που συνδέει τα μέσα των βάσεων ενός τραπεζίου, διέρχεται από το σημείο τομής των μη παραλλήλων πλευρών του και από το σημείο τομής των διαγωνίων του