Να αποδείξετε ότι
Δημοσιεύτηκε: Κυρ Ιουν 07, 2015 9:33 am
Σελίδα 1 από 1
Re: Να αποδείξετε ότι
Δημοσιεύτηκε: Παρ Ιουν 12, 2015 11:53 pm
Δεν μπόρεσα να σκεφτώ μία γεωμετρική απόδειξη.
Ας δούμε μία τριγωνομετρική προσέγγιση, αλλά με "τοπογραφική" μέθοδο ( με χρήση απλού scientific calculator
) .
Με βάση το Θεώρημα ημιτόνων στα κατάλληλα τρίγωνα καταλήγουμε ως ισοδύναμο προς απόδειξη ζητούμενο στην ισότητα :
![\displaystyle sin 14^{o}[sin 48^{o}sin 108^{o} + sin 76^{o}(sin 48^{o} + sin24^{o})] = sin 34^{o}sin 56^{o}sin 108^{o}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/54555118b27284e728c15f3003e031e8.png "\displaystyle sin 14^{o}[sin 48^{o}sin 108^{o} + sin 76^{o}(sin 48^{o} + sin24^{o})] = sin 34^{o}sin 56^{o}sin 108^{o}")
η οποία ισχύει,
αφού με αντικατάσταση των αντίστοιχων τιμών ημιτόνων παίρνουμε :
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Θα ήταν απίθανη μία τέτοια προσέγγιση με λάθος στις πράξεις, αλλά ποτέ δεν ξέρεις.
Ας δούμε μία τριγωνομετρική προσέγγιση, αλλά με "τοπογραφική" μέθοδο ( με χρήση απλού scientific calculator
) . Με βάση το Θεώρημα ημιτόνων στα κατάλληλα τρίγωνα καταλήγουμε ως ισοδύναμο προς απόδειξη ζητούμενο στην ισότητα :
η οποία ισχύει,αφού με αντικατάσταση των αντίστοιχων τιμών ημιτόνων παίρνουμε :
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Θα ήταν απίθανη μία τέτοια προσέγγιση με λάθος στις πράξεις, αλλά ποτέ δεν ξέρεις.
Re: Να αποδείξετε ότι
Δημοσιεύτηκε: Πέμ Ιούλ 23, 2015 8:04 pm
Διαιρούμε και τα δύο μέλη με 
, οπότε έχουμε 
,
ή
Από το νόμο των ημιτόνων στα τρίγωνα
και αντικατάσταση κάθε κλάσματος στην παραπάνω σχέση προκύπτει:
.
Το δεύτερο μέλος της παραπάνω σχέσης απλοποιείται με τη βοήθεια των τριγωμονετρικών ταυτοτήτων
και 
ως εξής:
Οπότε η σχέση γίνεται:
ή
ή
ή
ή
ή (επειδή 
)
ή
Η παραπάνω σχέση ισχύει διότι αποδεικνύεται ότι κάθε μέλος της ισούται με
.
Για το 1ο μέλος έχουμε:
διότι
.
Για το δεύτερο μέλος έχουμε:
( 
)
(
)
.
Ως μαθηματικός όμως δεν είμαι ικανοποιημένος! Θα συνεχίσω μέχρι να βρω και μία ... "καθαρά Ευκλείδια" γεωμετρική λύση!
, οπότε έχουμε ,ή
Από το νόμο των ημιτόνων στα τρίγωνα
και αντικατάσταση κάθε κλάσματος στην παραπάνω σχέση προκύπτει: .Το δεύτερο μέλος της παραπάνω σχέσης απλοποιείται με τη βοήθεια των τριγωμονετρικών ταυτοτήτων
και ως εξής:Οπότε η σχέση γίνεται:
ή ή ή ή ή (επειδή ) ήΗ παραπάνω σχέση ισχύει διότι αποδεικνύεται ότι κάθε μέλος της ισούται με
.Για το 1ο μέλος έχουμε:
διότι
.Για το δεύτερο μέλος έχουμε:
( ) ( ) .Ως μαθηματικός όμως δεν είμαι ικανοποιημένος! Θα συνεχίσω μέχρι να βρω και μία ... "καθαρά Ευκλείδια" γεωμετρική λύση!
Re: Να αποδείξετε ότι
Δημοσιεύτηκε: Τετ Μαρ 07, 2018 9:34 am
Μετά από τρία χρόνια ο μεγάλος γεωμέτρης Απόστολος Μανωλούδης κατάφερε να μας χαρίσει μια καθαρά γεωμετρική λύση σε αυτό το πρόβλημα!
Τον ευχαριστώ πολύ!
Υ.Γ. Μόλις βρω χρόνο θα ανεβάσω και αναλυτικά τη λύση του!
Τον ευχαριστώ πολύ!
Υ.Γ. Μόλις βρω χρόνο θα ανεβάσω και αναλυτικά τη λύση του!
- manoloudis.jpg (80.91 KiB) Προβλήθηκε 912 φορές