mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιαν 22, 2010 3:48 pm**

Με την ευκαιρία της εμφάνισης του καινούριου βιβλίου της Ά λυκείου και με το γεγονός ότι έχουμε μπει στο τέταρτο κεφάλαιο (στο παλιό πια βιβλίο ) στις τάξη προτείνω να συγκεντρώσουμε 20 – 30 περίπου ασκήσεις που αφορούν το δεύτερο κεφάλαιο του νέου βιβλίου, με τα εξής θέματα.

Η εξίσωση αχ+β=0 (και παραμετρικές)
Εξισώσεις που ανάγονται σε εξισώσεις 1ου βαθμού
Η εξίσωση δευτέρου βαθμού και τύποι Vieta
Eξισώσεις που ανάγονται σε λύση εξισώσεων δευτέρου βαθμού.

Μετά τις 140 ασκήσεις γεωμετρίας και τις 30 ασκήσεις πολυωνύμων ας συγκεντρώσουμε για το αρχείο του μαθηματικά μια καινούρια συλλογή ασκήσεων. Παράκληση να γράφονται οι ασκήσεις και οι λύσεις τους σε αρχείο word και οι λύσεις να μην είναι πρόχειρα διατυπωμένες.

Προτείνω τις 5 πρώτες.

1. Για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού λ, να λυθεί η εξίσωση . $\displaystyle{ \frac{{x + 3}}{\lambda } + \frac{{x - \lambda }}{3} = \frac{{\lambda ^2 - 4}}{{3\lambda }} }$

2. Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{ \frac{2}{{\left| x \right|}} = \frac{{\left| x \right|}}{2} + \frac{3}{2} }$

3. Δίνεται η εξίσωση $\displaystyle{ \lambda x^2 + 5x + 10 = 0 }$ με $\displaystyle{ \lambda \ne 0 }$

α) Για ποιες τιμές του λ η εξίσωση έχει 2 ρίζες πραγματικές και άνισες
β) για ποιες τιμές του λ η εξίσωση έχει μια διπλή ρίζα.
γ) Να βρεθεί η διπλή ρίζα του παραπάνω ερωτήματος.

4. Να αποδείξετε ότι αν η εξίσωση $\displaystyle{ (2\alpha - \beta )x^2 - 4\alpha x + 4\beta = 0 }$ έχει διπλή ρίζα , τότε η εξίσωση $\displaystyle{ (\alpha ^2 + \beta ^2 )x^2 - 2x + 3(\alpha - \beta ) = 0 }$ έχει δύο ρίζες άνισες.

5. Δίνεται η εξίσωση $\displaystyle{ x^2 - 2x - 2(\alpha \beta - 1) = 0 }$ . Αν η εξίσωση έχει ως ρίζα τον αριθμό α+β , τότε να αποδείξετε ότι α = β = 1.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιαν 22, 2010 3:57 pm**

Για Aσκ 5 . Aντικαθιστω το α+β στην εξισωση καταληγω στην (a-1)^2+(b-1)^2=0 ... a=1 ,b=1

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιαν 23, 2010 3:02 pm**

H λύση σε αρχείο word του συναδέλφου papel

Υ.Σ Καμιά ασκησούλα......

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιαν 23, 2010 9:15 pm**

Άσκηση 6

Να λυθεί η εξίσωση: $(x^{2}+2x-9)^{2}-5(x^{2}+2x-8)=1$

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιαν 23, 2010 9:26 pm**

Επισυνάπτω 5 ασκήσεις, αναφερόμενες σε μερικά βασικά σημεία, σε docx και pdf

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιαν 23, 2010 10:49 pm**

[quote="spyrosk"]
2. Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{ \frac{2}{{\left| x \right|}} = \frac{{\left| x \right|}}{2} + \frac{3}{2} }$

3. Δίνεται η εξίσωση $\displaystyle{ \lambda x^2 + 5x + 10 = 0 }$ με $\displaystyle{ \lambda \ne 0 }$

Δύο από τις πέντε ασκήσεις στο συνημμένο

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιαν 23, 2010 11:04 pm**

konkyr έγραψε:Άσκηση 6

Να λυθεί η εξίσωση: $(x^{2}+2x-9)^{2}-5(x^{2}+2x-8)=1$

Λύση

(x^2+2x-9)^2-5(x^2+2x-9+1)-1=0

(x^2+2x-9)^2-5(x^2+2x-9)-5-1=0

(x^2+2x-9)^2-5(x^2+2x-9)-6=0

(x^2+2x-9-6) (x^2+2x-9+1)=0

(x^2+2x-15) (x^2+2x-8)=0

(x-3)(x+5)(x+4)(x-2)=0

Άρα x=3 ή x=-5 ή x=-4 ή x=2

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιαν 23, 2010 11:35 pm**

ΑΣΚΗΣΗ 7

Αν η μια ρίζα της εξίσωσης $\displaystyle{x^2 - 2(3\lambda + 1)x + 5\lambda ^2 - 4 = 0}$ είναι το 13, να βρεθεί ο ακέραιος λ καθώς και η άλλη ρίζα.

ΑΣΚΗΣΗ 8

Εστω η εξίσωση $\displaystyle{x^2 + (\lambda - 1)x + 2 - \lambda = 0}$ με ρίζες $\displaystyle {x_1 }$ , $\displaystyle{ x_2 }$ και $\displaystyle{\lambda \in R - \{ 2\} }$ .Να υπολογιστούν συναρτήσει του λ οι παραστάσεις
i. $\displaystyle{\rho _1 = x_1 ^2 + x_2 ^2 }$

ii. $\displaystyle{\rho _2 = \frac{{x_1 }}{{x_2 }} + \frac{{x_2 }}{{x_1 }}}$

Στη συνέχεια να κατασκευάσετε εξίσωση 2ου βαθμού με ρίζες τις $\displaystyle{\rho _1 }$ και $\displaystyle{\rho _2 }$

ΑΣΚΗΣΗ 9

Να προσδιοριστεί ο $\displaystyle{\lambda \in R}$ ώστε η εξίσωση $\displaystyle{3(\lambda - 2)x^2 - (14\lambda - 8)x + 3(\lambda ^2 + 2\lambda -8) = 0}$ να έχει δύο ρίζες αντίστροφες.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιαν 23, 2010 11:48 pm**

Για την άσκηση της Κωνσταντίνας
Θέτουμε x^2+2x-9 = y

τότε η εξίσωση γίνεται y^2-5(y+1)=1

δηλαδή

η οποία έχει ρίζες το ψ = 6 , ψ = -1

Έτσι έχουμε x^2+2x-9 = 6

(1) και

(2) οι οποίες έχουν ρίζες η (1) το -5 , 3 και η (2) το -4 , 2

ΘΑ στείλω αύριο τη λύση σε word (ώρα για ύπνο)

Χρήστος

Εδώ είναι η λύση

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιαν 23, 2010 11:50 pm**

Ενα σχόλιο
Στο καινούριο βιβλίο ασκήσεις υπολογισμού συμμετρικών παραστάσεων ριζών με χρήση των σχέσεων Vieta πήγαν .... στο πυρ το εξώτερον, εξαφανίστηκαν. Κρίμα!!!

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιαν 24, 2010 12:04 am**

Άσκηση 10. Αν ρ ρίζα της εξίσωσης $a^2x^{2010}+b^4x^{1005}+c^6=0, abc\neq 0$ , να αποδειχθεί ότι η εξίσωση $\rho y^4+\rho^2 y^2 +1=0$ έχει ακριβώς 2 ρίζες.

PS. Please μη στέλνετε αρχεια .docx, διότι δεν είναι συμβατά με word 2003. Νομίζω ότι στο office 2007 (που δημιουργεί τα .docx αρχεία) υπάρχει επιλογή δημιουργίας αρχείων word συμβατών και με word 2003.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιαν 24, 2010 1:41 am**

A.Spyridakis έγραψε:Άσκηση 10. Αν ρ ρίζα της εξίσωσης $a^2x^{2010}+b^4x^{1005}+c^6=0, abc\neq 0$ , να αποδειχθεί ότι η εξίσωση $\rho y^4+\rho^2 y^2 +1=0$ έχει ακριβώς 2 ρίζες.
.

Μια λύση στο συνημμένο

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιαν 24, 2010 8:42 pm**

Άλλη μια

ΑΣΚΗΣΗ 11

Αν $\displaystyle{ x_1 ,x_2 (x_1 \ne x_2 ) }$ είναι οι ρίζες της εξίσωσης $\displaystyle{ \alpha x^2 + \beta x + \gamma = 0 }$ , $\displaystyle{ \alpha \ne 0 }$ να υπολογιστούν οι παραστάσεις
$\displaystyle{ \left| {x_1 - x_2 } \right| }$ και $\displaystyle{ \left| {x_1^2 - x_2^2 } \right| }$ συναρτήσει των α, β και γ.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιαν 24, 2010 9:11 pm**

Πολύ ωραία Σπύρο

$\displaystyle{\left| {x_1 - x_2 } \right| = \sqrt {\left( {x_1 - x_2 } \right)^2 } = \sqrt {\left( {x_1 + x_2 } \right)^2 - 4x_1 x_2 } = \sqrt {\frac{{\beta ^2 }}{{\alpha ^2 }} - \frac{{4\gamma }}{\alpha }} = \sqrt {\frac{\Delta }{{\alpha ^2 }}}}$

$\displaystyle{\left| {x_1 ^2 - x_2 ^2 } \right| = \left| {x_1 - x_2 } \right|\left| {x_1 + x_2 } \right| = \sqrt {\frac{\Delta }{{\alpha ^2 }}} \left| {\frac{\beta }{\alpha }} \right|}$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιαν 24, 2010 9:36 pm**

Άσκηση 12
Δίνεται η εξίσωση x^2

- |μ – 4|x - |4 – μ |=0 , όπου μ∈R-{4}.

Α. Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές και άνισες για κάθε τιμή μ∈R-{4}.
Β. Αν p_1

,

είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης να δείξετε ότι:
p_1^3

+

+

> 0

Άσκηση 13
Αν p_1

,

είναι ρίζες τις εξίσωσης x^2

+ 5 (m – 1 )χ – ( m^2

+ 1) = 0 , m∈R, για ποιες τιμές του m ισχύει:
1/ p_1

+ 1/

> 1

Άσκηση 14
Έστω η εξίσωση α x^2

+βx+γ=0, α≠0.
Α. Να δείξετε ότι: |α| + |γ| ≥ 2 $\sqrt{\alpha \gamma }$
Β. Αν ισχύει ότι: |β|> |α| + |γ| τότε να δείξετε ότι η δευτεροβάθμια εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιαν 24, 2010 10:00 pm**

Μάκη

Νομίζω ότι η (12) έχει κάποιο πρόβλημα.
Η εξίσωση έχει δύο άνισες για κάθε $\displaystyle{\mu \ne 4}$ και δύο ίσες για μ = 4.
Αφού δίνεις μ > 4, τι νόημα έχει το απόλυτο;
Και στην 14, κάτι δεν πάει καλά.

Φιλικά Χρήστος

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιαν 24, 2010 10:12 pm**

Για δες τώρα Χρήστο... τώρα το σώζουμε? Όσο για την 14 Χρήστο, δεν αντιγράφηκε ο τύπος από το mathtype!

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιαν 24, 2010 10:12 pm**

AΣΚΗΣΗ 15

Έστω $\displaystyle{ x_1 ,x_2 }$ ρίζες της εξίσωσης $\displaystyle{ \alpha x^2 + \beta x + \gamma = 0 }$ , $\displaystyle{ \alpha ,\beta ,\gamma \ne 0 }$ και $\displaystyle{ \rho _1 ,\rho _2 }$ είναι ρίζες της εξίσωσης
$\displaystyle{ {\rm A}x^2 + {\rm B}x + \Gamma = 0 }$ , $\displaystyle{ {\rm A},{\rm B},\Gamma \ne 0 }$ .
Αν οι ρίζες $\displaystyle{ x_1 ,x_2 }$ είναι ανάλογες των $\displaystyle{ \rho _1 ,\rho _2 }$ να δείξετε ότι $\displaystyle{ \frac{{\alpha \cdot \gamma }}{{{\rm A} \cdot \Gamma }} = \frac{{\beta ^2 }}{{{\rm B}^2 }} }$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιαν 24, 2010 10:52 pm**

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ έγραψε:AΣΚΗΣΗ 15

Έστω $\displaystyle{ x_1 ,x_2 }$ ρίζες της εξίσωσης $\displaystyle{ \alpha x^2 + \beta x + \gamma = 0 }$ , $\displaystyle{ \alpha ,\beta ,\gamma \ne 0 }$ και $\displaystyle{ \rho _1 ,\rho _2 }$ είναι ρίζες της εξίσωσης
$\displaystyle{ {\rm A}x^2 + {\rm B}x + \Gamma = 0 }$ , $\displaystyle{ {\rm A},{\rm B},\Gamma \ne 0 }$ .
Αν οι ρίζες $\displaystyle{ x_1 ,x_2 }$ είναι ανάλογες των $\displaystyle{ \rho _1 ,\rho _2 }$ να δείξετε ότι $\displaystyle{ \frac{{\alpha \cdot \gamma }}{{{\rm A} \cdot \Gamma }} = \frac{{\beta ^2 }}{{{\rm B}^2 }} }$

$\displaystyle{x_1+x_2=\frac{-b}{a},\ \ x_1x_2=\frac{\gamma}{a},\ \ r_1+r_2=\frac{-B}{A},\ \ \ r_1r_2=\frac{\Gamma}{A},\ \ \frac{x_1}{r_1}=\frac{x_2}{r_2}=m}$

$\displaystyle{ x_1x_2=\frac{\gamma}{a}\longrightarrow m^2 r_1r_2=\frac{\gamma}{a}\longrightarrow m^2\frac{\Gamma}{A}=\frac{\gamma}{a} }$

$\displaystyle{x_1+x_2=\frac{-b}{a}\longrightarrow m(r_1+r_2)=\frac{-b}{a}\longrightarrow m(\frac{-B}{A})=\frac{-b}{a}\longrightarrow m^2(\frac{B}{A})^2=(\frac{b}{a})^2}$
$\displaystyle{ \longrightarrow\frac{b^2}{B^2}=\frac{a\gamma}{A\Gamma}}$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιαν 24, 2010 11:44 pm**

ΑΣΚΗΣΗ 16
Δίνεται η εξίσωση $x^2-2x+\lambda -1 = 0$ με λ $\neq 0$ .
i) Αν ισχύει ότι $x_{1}^2\cdot x_{2}+ x_{1}\cdot x_{2}^2 = 4$ όπου $x_{1}, x_{2}$ ρίζες της εξίσωσης να βρεθεί το λ.
ii) Για την τιμή του λ που βρήκατε στο (i) ερώτημα να λυθεί η : $\left|\left|x-\lambda \right|+2(x_{1}+x_{2}) \right| > x_{1}\cdot x_{2} + 8$ .

Χρήστος Τσιφάκης

mathematica.gr

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ