mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιουν 27, 2015 6:45 pm**

Σχετικά απλή...

Δίνεται το τριώνυμο $\displaystyle{ax^2+bx+c}$ με $\displaystyle{a,b,c\in\mathbb R^*}$ το οποίο έχει διακρίνουσα $\displaystyle{-12}$ και ακρότατο στο $\displaystyle{-1}$ .

Να βρεθούν τα $\displaystyle{a,b,c}$ αν αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου.

('Αλγεβρα Α' Λυκείου - Μέχρι 1/7/15)

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιουν 29, 2015 9:33 pm**

Ελπίζω να είναι σωστό
$\Delta =b^{2}-4ac\Leftrightarrow -12=b^{2}-4ac$ (1)
Επειδή τα a,b,c

είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου θα είναι $b^{2}=ac$ (2)
Από (1) και (2) a.c=4

Το τριώνυμο έχει ακρότατο εκεί που η ρίζα θα ήταν διπλή και η διακρίνουσα θα ήταν μηδέν δηλαδη στο $x=-\frac{b}{2a}$
Αρα $-1=-\frac{b}{2a}$ και έτσι b=2,a=1,c=4

και το τριώνυμο είναι $y=x^{2}+2x+4$ και αν βάλουμε x=-1

τότε

ή με πράξεις $y=x^{2}+2x+4\Leftrightarrow y=x^{2}+2x+1+3 \Leftrightarrow y-3=(x+1)^{2}$
δηλαδή η κατώτερη τιμή του

είναι 3

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιουν 29, 2015 10:08 pm**

T-Rex έγραψε:Ελπίζω να είναι σωστό
$\Delta =b^{2}-4ac\Leftrightarrow -12=b^{2}-4ac$ (1)
Επειδή τα είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου θα είναι $b^{2}=ac$ (2)
Από (1) και (2)
Το τριώνυμο έχει ακρότατο εκεί που η ρίζα θα ήταν διπλή και η διακρίνουσα θα ήταν μηδέν δηλαδη στο $x=-\frac{b}{2a}$
Αρα $-1=-\frac{b}{2a}$ και έτσι $\color{blue}b=2,a=1,c=4}$
και το τριώνυμο είναι $y=x^{2}+2x+4$ και αν βάλουμε τότε
ή με πράξεις $y=x^{2}+2x+4\Leftrightarrow y=x^{2}+2x+1+3 \Leftrightarrow y-3=(x+1)^{2}$
δηλαδή η κατώτερη τιμή του είναι 3

Καλησπέρα. Δες λίγο πιο προσεκτικά πως βγαίνει η τριάδα. Μήπως υπάρχει κι άλλη;

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιουν 30, 2015 2:15 pm**

Ευχαριστώ κύριε (ΔΕΧΟΜΑΙ ΤΗΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ ΧΩΡΙΣ ΣΚΛΗΡΕΣ ΔΙΑΠΡΑΓΜΑΤΕΥΣΕΙΣ) μπέρδεψα το ακρότατο Το ακρότατο είναι στον άξονα

και όχι στον άξονα

οπότε επειδή η Διακρίνουσα είναι αρνητική και το ακρότατατο αρνητικό
δεν έχει λύσεις και το

είναι και αυτό αρνητικό.
Με πράξεις βγάζω $a=-3,b=2,c=\frac{-4}{3}$
Αφήνω την απάντηση να φαίνεται το λάθος και αν τώρα είναι σωστά να την ξαναγράψω

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιουν 30, 2015 2:59 pm**

T-Rex έγραψε:Ευχαριστώ κύριε (ΔΕΧΟΜΑΙ ΤΗΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ ΧΩΡΙΣ ΣΚΛΗΡΕΣ ΔΙΑΠΡΑΓΜΑΤΕΥΣΕΙΣ) μπέρδεψα το ακρότατο Το ακρότατο είναι στον άξονα και όχι στον άξονα οπότε επειδή η Διακρίνουσα είναι αρνητική και το ακρότατατο αρνητικό
δεν έχει λύσεις και το είναι και αυτό αρνητικό.
Με πράξεις βγάζω $a=-3,b=2,c=\frac{-4}{3}$
Αφήνω την απάντηση να φαίνεται το λάθος και αν τώρα είναι σωστά να την ξαναγράψω

Καλησπέρα.

Η λύση που βρήκες στην πρώτη ανάρτηση δεν είναι λάθος, απλώς δεν είναι ολοκληρωμένη, γιατί υπάρχει και άλλη λύση.
Ως προς το ακρότατο, τώρα, δεν είναι

, αλλά, όπως λέει ο Γιώργος, έχει ακρότατο στο

. Είναι λοιπόν όπως το είχες πάρει αρχικά, για x=-1

.
Κοίταξε ξανά, να δεις ποια από τις εξισώσεις που χρησιμοποίησες έχει δύο λύσεις.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιουν 30, 2015 3:02 pm**

T-Rex έγραψε:Ευχαριστώ κύριε (ΔΕΧΟΜΑΙ ΤΗΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ ΧΩΡΙΣ ΣΚΛΗΡΕΣ ΔΙΑΠΡΑΓΜΑΤΕΥΣΕΙΣ) μπέρδεψα το ακρότατο Το ακρότατο είναι στον άξονα και όχι στον άξονα οπότε επειδή η Διακρίνουσα είναι αρνητική και το ακρότατατο αρνητικό
δεν έχει λύσεις και το είναι και αυτό αρνητικό.
Με πράξεις βγάζω $a=-3,b=2,c=\frac{-4}{3}$
Αφήνω την απάντηση να φαίνεται το λάθος και αν τώρα είναι σωστά να την ξαναγράψω

Σωστή ήταν η... διαπραγμάτευσή σου την πρώτη φορά. Απλά (υποθέτω ότι) όταν έφτασες στο $\displaystyle{b^2=4}$ έγραψες $\displaystyle{b=2}$ αντί για $\displaystyle{b=\pm 2}$ .

Αυτό είναι το μόνο λάθος

Edit : Ουσιαστικά απάντησε ο Γιώργος

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιουν 30, 2015 7:49 pm**

Αλλη μία άσκηση σαν αυτή και καταλαβαίνω τέλεια αυτό το κεφάλαιο.
ΕΧΕΙ ΑΚΡΟΤΑΤΟ ΣΤΟ

σημαίνει ότι αν μετακινήσω την καμπύλη στο πρώτο σημείο του άξονα

που θα ακουμπήσει θα είναι το

ενώ ΤΟ ΑΚΡΟΤΑΤΟ ΕΙΝΑΙ σημαίνει το σημείο του άξονα

που αλλάζει κλίση η καμπύλη.
Αρα αφού έχει ακρότατο στο

θα είναι $x=-\frac{b}{2a}\Leftrightarrow -1=-\frac{b}{2a}\Leftrightarrow b=2a$
Επίσης $\Delta =b^{2}-4ac\Leftrightarrow -12=b^{2}-4ac$ (1)
Και επειδή τα a,b,c

είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου θα είναι $b^{2}=a.c$ (2)
Από (1) και (2) είναι $-12=b^{2}-4ac\Leftrightarrow -12=ac-4ac \Leftrightarrow ac=4$ και $b^{2}=4 \Leftrightarrow b=\pm 2$
και από την (1)θα είναι $-1=\frac{-b}{2a}$ αντικαθιστούμε το

με

και