mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιούλ 21, 2015 6:09 pm**

Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν άπειροι φυσικοί

ώστε ο αριθμός

2n!+1

να είναι σύνθετος.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιούλ 21, 2015 8:21 pm**

Ας είναι

ένας πρώτος μεγαλύτερος του 5.
Γνωρίζουμε (θεώρημα του Wilson) ότι $(p-1)! \equiv p-1 \:mod \:p$ , άρα:
$(p-3)! \equiv p-1 \cdot (p-1)^{-1} \cdot (p-2)^{-1}\:mod \:p \ \Rightarrow$
$2\cdot(p-3)!+1 \equiv 2\cdot 1 \cdot \frac{p-1}{2} + 1 \:mod \:p \ \Rightarrow$
$2\cdot(p-3)!+1 \equiv 0 \:mod \:p$ .

Δεδομένου ότι $\forall n \in \mathbb{N} \ n > 5 \Rightarrow 2\cdot (n-3)! +1 > n$ , έχουμε δείξει ότι για κάθε πρώτο

μεγαλύτερο του 5, ισχύει ότι ο $2\cdot(p-3)! +1$ είναι σύνθετος, αφού διαιρείται από τον

και είναι μεγαλύτερος από τούτον.

Αφού υπάρχουν άπειροι πρώτοι, το αποδεικτέο έχει δειχθεί.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιούλ 21, 2015 8:59 pm**

Πολύ ωραία yoloparties!

Και για όσους τους τρομάζουν οι αρνητικοί εκθέτες (που στην ουσία ένας απλός συμβολισμός είναι) να δώσω μια άλλη προσέγγιση που στην ουσία είναι ίδια.

$(p-1)!\equiv-1modp$
$(p-2)!(p-1)\equiv-1modp$ άρα

$(p-2)!p-(p-2)!\equiv-1modp$ οπότε

$(p-2)!-1\equiv0modp$ (συνεπώς άπειροι σύνθετοι στης μορφής n!-1

.

Μπορούμε να το συνεχίζουμε όσο θέλουμε και στο επόμενο βήμα θα έχω,

$(p-1)!\equiv-1modp$

$(p-3)!(p-2)(p-1)\equiv-1modp$

$(p-3)!(p^2-3p+2)\equiv-1modp$

$2(p-3)!+1\equiv0modp$ συνεπώς άπειροι σύνθετοι στης μορφής 2n!+1