mathematica.gr

Είναι γνωστό ότι οι διάμεσοι ενός τριγώνου διαερχονται από το ίδιο σημείο του οποίου η απόσταση από κάθε κορυφή είναι τα 2/3 του μηκους της αντιστιχης διαμέσου.Μπορεί κάποιος να αποδείξει το αντιστροφο?

Ας υποθέσουμε ότι τα τμήματα ΑΛ, ΓΚ τέμνονται στο Θ με ΑΘ = 2ΘΛ και ΓΘ = 2ΘΚ. Τότε με αφαίρεση κατά μέλη : που σημαίνει ότι Κ, Λ τα μέσα των ΑΒ, ΒΓ αντίστοιχα, δηλ. οι ΑΛ, ΓΚ διάμεσοι.

Eukleidis έγραψε:Είναι γνωστό ότι οι διάμεσοι ενός τριγώνου διαερχονται από το ίδιο σημείο του οποίου η απόσταση από κάθε κορυφή είναι τα 2/3 του μηκους της αντιστιχης διαμέσου.Μπορεί κάποιος να αποδείξει το αντιστροφο?

Έστω Ζ σημείο της ΑΒ έτσι ώστε ΑΖ/ΖΒ=2/1 και ε η από το Ζ παράλληλη προς την ΒΓ. (Ανάλογα η ΘΙ)
Το τυχαίο τμήμα ΑΔ (άρα όλα τα ΑΔ με Δ επί της ΒΓ) έχει το σημείο Κ που την χωρίζει σε λόγο ΑΚ/ΚΔ=2/1 πάνω στην ευθεία ε (λόγω Θαλή)
Κατ’ αναλογία το τυχαίο τμημα ΓΕ θα έχει το σημείο Κ’ που τη χωρίζει ώστε ΓΚ'/Κ'Ε=2/1 πάνω στην παράλληλη προς την ΑΒ δηλαδή την «η» . Επειδή οι ευθείες η και ε έχουν μοναδικό σημείο τομής έπεται οτι μόνο δύο ευθείες υπάρχουν **(η μια με κορυφή το Α και η άλλη με κορυφή το Β) που να τέμνονται σε σημείο που χωρίζει την κάθε μια σε λόγο 2/1. Λόγω της μοναδικότητας αυτών των δύο ευθειών έπεται ότι αυτές δεν μπορεί να είναι άλλες από τις αντίστοιχες διαμέσους*** και το Κ να είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου.

**Από αυτές που διαπραγματεύομαι
*** για τις οποίες γνωρίζουμε από το ευθύ οτι χωρίζονται απο το βαρύκεντρο σε λόγους 2/1