mathematica.gr

Μιας και τώρα ασχολούμε για πρώτη φορά σοβαρά με θεωρία αριθμών βρήκα αυτή την άσκηση και δεν μπορώ να την λύσω εδώ και λίγες μέρες...

Αν είναι πρώτο και είναι πάλι πρώτος,τότε να δείξετε ότι είναι σύνθετος....

Bouzoukman, κοίταξε την διαιρετότητα με το 3.

Γεια χαρά!
Ας υποθέσουμε ότι κι ο αριθμός 8p+1 είναι πρώτος. Οι πρώτοι 8p-1, 8p+1 διαφέρουν κατά 2 μονάδες.
Θεωρώντας τα δυνατά υπόλοιπα της διαίρεσης ενός ακεραίου δια 6, βρίσκουμε ότι όλοι οι πρώτοι, εκτός των 2 και 3, έχουν τη μορφή 6k-1 ή 6k+1 για k ακέραιο.
Έτσι για το ζεύγος πρώτων που προαναφέραμε, θα ισχύει 8p-1=6k-1 και 8p+1=6k+1. Σχέσεις που ισοδυναμούν με την 8p=6k ή 4p=3k. Συμπεραίνουμε ότι, αφού οι ακέραιοι 3 και 4 είναι πρώτοι μεταξύ τους, άρα το 3 διαιρεί τον p. Αλλά ο p είναι πρώτος, άρα p=3 ή p=-3.
Αν p=3, τότε ο αριθμός 8p+1=25 είναι σύνθετος, άτοπο
Αν p=-3, τότε ο αριθμός 8p-1=-25 είναι σύνθετος, πάλι άτοπο.

Λεωνίδας

Είναι 8ρ+1>8ρ>8ρ-1

Αν ρ=3 τ'οτε 8ρ+1=25 σύνθετος
Αν ρ=-3 τότε 8ρ-1=-25 άτοπο

Αν ρ διάφορο +3,-3 τότε έχουμε ότι
3 δεν διαιρεί το ρ και 3 δεν διαιρεί το 8 άρσ 3 δεν διαιρεί το 8ρ
αφού 8ρ-1 πρώτος και διαφορετικός του 3, έχουμε ότι το 3 δεν διαιρεί το 8ρ-1

εύκολα αποδεικνύουμε ότι το 3 διαρεί οποιοδήποτε γιμόμενο τριών διαδοχικών ακεραίων, άρα 3 διαρεί (8ρ-1)8ρ(8ρ+1)

Από τα παραπάνω είναι 3 διαιρεί το 8ρ+1 και επειδή 8ρ+1 διάφορο του +3,-3 , ο 8ρ+1 σύνθετος

Ευχαριστώ για τις απαντησεις!!!!
Βρήκα και τις δύο λύσεις υπέροχες.....