Σελίδα 1 από 1
Γωνιακή ισότητα
Δημοσιεύτηκε: Σάβ Αύγ 29, 2015 5:07 pm
από panos misiakos
Θεωρούμε εγγράψιμο τετράπλευρο
και τα σημεία τομής
,
. Έστω
το μέσο της
και
η προβολή του
στην
. Να δείξετε ότι
Re: Γωνιακή ισότητα
Δημοσιεύτηκε: Κυρ Αύγ 30, 2015 11:03 am
από ealexiou
panos misiakos έγραψε:Θεωρούμε εγγράψιμο τετράπλευρο
και τα σημεία τομής
,
. Έστω
το μέσο της
και
η προβολή του
στην
. Να δείξετε ότι
Μήπως
ή (που είναι το ίδιο)
;
Re: Γωνιακή ισότητα
Δημοσιεύτηκε: Κυρ Αύγ 30, 2015 3:26 pm
από panos misiakos
Έχω λάθος στην εκφώνηση . Πάρε
για να σου βγεί η συγκεκριμένη γωνιακή ισότητα . Διαφορετικά ισχύει αυτή που αναφέρεις.
Re: Γωνιακή ισότητα
Δημοσιεύτηκε: Δευ Αύγ 31, 2015 8:07 pm
από raf616
Καλησπέρα Πάνο! Μία προσπάθεια:
Όπως μπορεί κανείς να παρατηρήσει, η άσκηση σχετίζεται με την ευθεία Newton-Gauss του πλήρους τετραπλεύρου. Η λύση μου ουσιαστικά βασίζεται σε ένα λήμμα του οποίου την
απόδειξη μπορεί κανείς να βρεί
εδώ.
Λήμμα: Έστω
το μέσο του
και
το μέσο του
. Τότε
.
Μέσω αυτού του λήμματος μπορούμε εύκολα να αποδείξουμε(η απόδειξη βρίσκεται και αυτή στο άρθρο που παρέθεσα) ότι τα σημεία
είναι ομοκυκλικά.
Πίσω στο πρόβλημα τώρα, έχουμε ότι:
και
.
Άρα, αρκεί
.
Από το εγγράψιμο
έχουμε
που δίνει το
ζητούμενο.
![\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm, scale = 1.3]
\clip(-2.448745217089564,-5.580149196209) rectangle (12.794661449673587,1.6920580407564891);
\draw(5.086371239411066,-1.5747929679410027) circle (2.3165513560855997cm);
\draw (3.1813697219563637,-0.25669608080511686)-- (6.5079511427218435,0.25428351047233916);
\draw (6.5079511427218435,0.25428351047233916)-- (7.38391615634034,-1.2786552633600288);
\draw (7.38391615634034,-1.2786552633600288)-- (6.877077755208118,-3.044412088551514);
\draw (3.1813697219563637,-0.25669608080511686)-- (6.877077755208118,-3.044412088551514);
\draw (6.5079511427218435,0.25428351047233916)-- (6.877077755208118,-3.044412088551514);
\draw (3.1813697219563637,-0.25669608080511686)-- (7.38391615634034,-1.2786552633600288);
\draw (6.659783373435313,-1.102563420370717)-- (9.54128920597663,-5.054058100223533);
\draw (4.844660432339103,-0.0012062851663888485)-- (4.9205765476958385,-0.679629750587917);
\draw (4.9205765476958385,-0.679629750587917)-- (5.805013748047748,-2.2357416072256084);
\draw (5.805013748047748,-2.2357416072256084)-- (8.100536289705971,-3.078310760297125);
\draw (4.844660432339103,-0.0012062851663888485)-- (8.100536289705971,-3.078310760297125);
\draw (4.9205765476958385,-0.679629750587917)-- (8.100536289705971,-3.078310760297125);
\draw (4.844660432339103,-0.0012062851663888485)-- (5.805013748047748,-2.2357416072256084);
\draw (6.659783373435313,-1.102563420370717)-- (5.805013748047748,-2.2357416072256084);
\draw (6.877077755208118,-3.044412088551514)-- (9.54128920597663,-5.054058100223533);
\draw (7.38391615634034,-1.2786552633600288)-- (9.54128920597663,-5.054058100223533);
\begin{scriptsize}
\draw [fill=black] (3.1813697219563637,-0.25669608080511686) circle (1.5pt);
\draw<span style="color:black"> (3.008770750023169,0.06555697666624118) node {A};
\draw [fill=black] (6.5079511427218435,0.25428351047233916) circle (1.5pt);
\draw<span style="color:black"> (6.597826817065287,0.4419373881912572) node {B};
\draw [fill=black] (7.38391615634034,-1.2786552633600288) circle (1.5pt);
\draw<span style="color:black"> (7.471567058105503,-1.0904685730177368) node {C};
\draw [fill=black] (6.877077755208118,-3.044412088551514) circle (1.5pt);
\draw<span style="color:black"> (6.82634349549119,-3.3353088846133683) node {D};
\draw [fill=black] (-2.6233343017325725,2.454993295793865) circle (1.5pt);
\draw [fill=black] (9.54128920597663,-5.054058100223533) circle (1.5pt);
\draw<span style="color:black"> (9.635754424374346,-4.867714845822362) node {E};
\draw [fill=black] (6.659783373435313,-1.102563420370717) circle (1.5pt);
\draw<span style="color:black"> (6.759132707718865,-0.9157205248096935) node {F};
\draw [fill=black] (4.844660432339103,-0.0012062851663888485) circle (1.5pt);
\draw<span style="color:black"> (4.944441437866109,0.1865363946564249) node {M};
\draw [fill=black] (8.100536289705971,-3.078310760297125) circle (1.5pt);
\draw<span style="color:black"> (8.197443566046605,-2.891717685316028) node {P};
\draw [fill=black] (4.9205765476958385,-0.679629750587917) circle (1.5pt);
\draw<span style="color:black"> (4.702482601885742,-0.4183606952944937) node {Q};
\draw [fill=black] (5.805013748047748,-2.2357416072256084) circle (1.5pt);
\draw<span style="color:black"> (5.589665000480423,-2.3674735406918983) node {H};
\end{scriptsize}
\end{tikzpicture}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/0b4f48f251deff8cf79592a1f542c047.png "\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm, scale = 1.3]
\clip(-2.448745217089564,-5.580149196209) rectangle (12.794661449673587,1.6920580407564891);
\draw(5.086371239411066,-1.5747929679410027) circle (2.3165513560855997cm);
\draw (3.1813697219563637,-0.25669608080511686)-- (6.5079511427218435,0.25428351047233916);
\draw (6.5079511427218435,0.25428351047233916)-- (7.38391615634034,-1.2786552633600288);
\draw (7.38391615634034,-1.2786552633600288)-- (6.877077755208118,-3.044412088551514);
\draw (3.1813697219563637,-0.25669608080511686)-- (6.877077755208118,-3.044412088551514);
\draw (6.5079511427218435,0.25428351047233916)-- (6.877077755208118,-3.044412088551514);
\draw (3.1813697219563637,-0.25669608080511686)-- (7.38391615634034,-1.2786552633600288);
\draw (6.659783373435313,-1.102563420370717)-- (9.54128920597663,-5.054058100223533);
\draw (4.844660432339103,-0.0012062851663888485)-- (4.9205765476958385,-0.679629750587917);
\draw (4.9205765476958385,-0.679629750587917)-- (5.805013748047748,-2.2357416072256084);
\draw (5.805013748047748,-2.2357416072256084)-- (8.100536289705971,-3.078310760297125);
\draw (4.844660432339103,-0.0012062851663888485)-- (8.100536289705971,-3.078310760297125);
\draw (4.9205765476958385,-0.679629750587917)-- (8.100536289705971,-3.078310760297125);
\draw (4.844660432339103,-0.0012062851663888485)-- (5.805013748047748,-2.2357416072256084);
\draw (6.659783373435313,-1.102563420370717)-- (5.805013748047748,-2.2357416072256084);
\draw (6.877077755208118,-3.044412088551514)-- (9.54128920597663,-5.054058100223533);
\draw (7.38391615634034,-1.2786552633600288)-- (9.54128920597663,-5.054058100223533);
\begin{scriptsize}
\draw [fill=black] (3.1813697219563637,-0.25669608080511686) circle (1.5pt);
\draw<span style=\"color:black\"> (3.008770750023169,0.06555697666624118) node {A};
\draw [fill=black] (6.5079511427218435,0.25428351047233916) circle (1.5pt);
\draw<span style=\"color:black\"> (6.597826817065287,0.4419373881912572) node {B};
\draw [fill=black] (7.38391615634034,-1.2786552633600288) circle (1.5pt);
\draw<span style=\"color:black\"> (7.471567058105503,-1.0904685730177368) node {C};
\draw [fill=black] (6.877077755208118,-3.044412088551514) circle (1.5pt);
\draw<span style=\"color:black\"> (6.82634349549119,-3.3353088846133683) node {D};
\draw [fill=black] (-2.6233343017325725,2.454993295793865) circle (1.5pt);
\draw [fill=black] (9.54128920597663,-5.054058100223533) circle (1.5pt);
\draw<span style=\"color:black\"> (9.635754424374346,-4.867714845822362) node {E};
\draw [fill=black] (6.659783373435313,-1.102563420370717) circle (1.5pt);
\draw<span style=\"color:black\"> (6.759132707718865,-0.9157205248096935) node {F};
\draw [fill=black] (4.844660432339103,-0.0012062851663888485) circle (1.5pt);
\draw<span style=\"color:black\"> (4.944441437866109,0.1865363946564249) node {M};
\draw [fill=black] (8.100536289705971,-3.078310760297125) circle (1.5pt);
\draw<span style=\"color:black\"> (8.197443566046605,-2.891717685316028) node {P};
\draw [fill=black] (4.9205765476958385,-0.679629750587917) circle (1.5pt);
\draw<span style=\"color:black\"> (4.702482601885742,-0.4183606952944937) node {Q};
\draw [fill=black] (5.805013748047748,-2.2357416072256084) circle (1.5pt);
\draw<span style=\"color:black\"> (5.589665000480423,-2.3674735406918983) node {H};
\end{scriptsize}
\end{tikzpicture}")
*EDIT: Αντικατάσταση του αρχείου Geogebra με κώδικα tikz.