mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Σεπ 26, 2015 2:46 pm**

Αν $\displaystyle{\rm x,y,z>0}$ με $\displaystyle{\rm x+y+z=xy+yz+zx}$ να βρεθεί η μέγιστη τιμή της παράστασης

$\displaystyle{\rm \mathcal{F}=\frac{xy}{x+y}+\frac{yz}{z+x}+\frac{zx}{z+x}.}$

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Σεπ 26, 2015 4:16 pm**

Θα δείξουμε ότι $\mathcal{F}\leq \frac{3}{2},$ με ισότητα αν-ν $\displaystyle{x=y=z=1.}$

Αν θέσουμε $\displaystyle{p= x+y+z=xy+yz+zx, \ r=abc}$ τότε, μετά τις πράξεις, έχουμε να δείξουμε ότι $r(2p+3)\leq p^2.$

Από τις γνωστές σχέσεις $\displaystyle{(x+y+z)^2\geq 3(xy+yz+zx)}$ και $\displaystyle{(xy+yz+zx)^2\geq 3xyz(x+y+z)}$ βρίσκουμε $p\geq 3r$ και $p\geq 3.$

Επομένως, $\displaystyle{r(2p+3)\leq \frac{2p^2}{3}+p\leq p^2,}$ όπως θέλαμε.

Επίσης, $\displaystyle{\inf \mathcal {F}=1.}$

mathematica.gr

Μέγιστη τιμή!

Μέγιστη τιμή!

Re: Μέγιστη τιμή!