mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Οκτ 12, 2015 4:15 pm**

Δίνεται τετράπλευρο εγγεγραμμένο σε κύκλο έστω και έστω τα σημεία $E\equiv AB\cap CD$ και $Z\equiv BC\cap AD$ . Επί των τμημάτων $CE,\ CZ$ , προσδιορίζουμε τα σημεία $M,\ N$ αντιστοίχως, ώστε να είναι $\displaystyle \frac{MD}{ME} = \frac{NZ}{NB}$ (*) και έστω τα σημεία $F\equiv BE\cap MN$ και $H\equiv DZ\cap MN$ . Αποδείξτε ότι οι περίκυκλοι έστω $(K),\ (L)$ , των τριγώνων $\vartriangle MEF,\ \vartriangle NZH$ αντιστοίχως, εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο έστω , το οποίο ταυτίζεται με το Σημείο Miquel στο πλήρες τετράπλευρο .

Κώστας Βήττας.

(*) Από τυχόν σημείο έστω

του

φέρνουμε την παράλληλη ευθεία προς την

η οποία τέμνει την

στο σημείο έστω

. Η δια του σημείου

παράλληλη ευθεία προς την

τέμνει την

στο σημείο έστω

για το οποίο προκύπτει άμεσα ότι $\displaystyle \frac{MD}{ME} = \frac{PZ}{PE} = \frac{NZ}{NB}$ .

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Οκτ 12, 2015 11:35 pm**

Αρχικά παρατηρούμε ότι τα C,M,P,Q,N

είναι ομοκυκλικά.
Πράγματι $\angle MPN= \angle A= 180 -\angle C$ και $\angle CQP=\angle CDZ=\angle EMP$
Επίσης ο περίκυκλος του NZH

διέρχεται από το

αφού $\angle NHZ= \angle FMP=\angle PQN$ .
Ομοίως ο MFE

διέρχεται από το

.
Θεωρούμε

το σημείο τομής της εφαπτομένης του (L)

στο

με την MN.
Τότε $\angle MQS=\angle MQN - \angle SQN=\angle A- \angle QZN=\angle CEZ$ .Οπότε η

είναι κοινή εφαπτομένη των (K),(L)

στο

και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Οκτ 13, 2015 12:13 am**

Πάνο, πολύ ωραία και σ' ευχαριστώ για το ενδιαφέρον σου.

Για το ότι οι κύκλοι $(K),\ (L)$ εφάπτονται στο σημείο

, αποδεικνύεται εναλλακτικά ότι τα σημεία $K,\ Q,\ L$ είναι συνευθειακά, από $\angle LQZ = 90^{o} - \angle QNZ = 90^{o} - \angle QMC = \angle KQE$ .

Κώστας Βήττας.

mathematica.gr

Μεταβλητοί κύκλοι εφαπτόμενοι, σε σταθερό σημείο.

Μεταβλητοί κύκλοι εφαπτόμενοι, σε σταθερό σημείο.

Re: Μεταβλητοί κύκλοι εφαπτόμενοι, σε σταθερό σημείο.

Re: Μεταβλητοί κύκλοι εφαπτόμενοι, σε σταθερό σημείο.