mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Οκτ 27, 2015 11:54 pm**

...Καλησπέρα στην παρέα με μία αποψινή δημιουργία λίγο διαφορετική και μάλλον απαιτητική...

Δίνονται οι συναρτήσεις $f:[0,\,\,+\infty )\to R$ γνήσια αύξουσα στο $A=[0,+\infty )$ με σύνολο τιμών το $f(A)=[0,+\infty )$ και η

$g:(0,\,\,+\infty )\to R$ γνήσια φθίνουσα στο $B=(0,\,\,+\infty )$ με σύνολο τιμών το $g(B)=(0,+\infty )$ , ώστε να ισχύουν

$f(f(x)g(x))={{x}^{2}},\,\,\,x>0$ και $g(f(x)g(x))=\frac{1}{x},\,\,\,x>0$

α) Να δείξετε ότι f(0)=0

.

β) Να δείξετε ότι οι ${{C}_{f}},\,\,\,{{C}_{g}}$ έχουν μοναδικό κοινό σημείο και να βρεθεί.

γ) Να δειχθεί ότι υπάρχουν μοναδικά ${{x}_{1}}\in (0,\,\,1),\,\,\,{{x}_{2}}\in (1,\,\,+\infty )$ ώστε $g({{x}_{1}})=f({{x}_{2}})=4$

και κατόπιν ότι ισχύει $f(2){{g}^{2}}(2)=f\left( \frac{1}{4} \right){{g}^{2}}\left( \frac{1}{4} \right)$

δ) Αν ακόμη οι $f,\,\,g$ είναι παραγωγίσιμες στο πεδίο ορισμού τους να δείξετε ότι υπάρχει $\xi \in R$ ώστε

${f}'(f(\xi )g(\xi ))f(\xi ){g}'(\xi )+2\xi =0$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης