mathematica.gr

Καλύπτουμε μια σκακιέρα με ντόμινο. (Μπορούμε να τα περιστρέψουμε πριν τα τοποθετήσουμε.) Να δειχθεί ότι όπως και να τοποθετήσουμε τα ντόμινο υπάρχει μια ευθεία γραμμή (οριζόντια ή κάθετη) η οποία χωρίζει την σκακιέρα σε δύο μέρη χωρίς όμως να κόψει κάποιο ντόμινο.

Πηγή: Σοβιετική Ένωση 1963

Παρατηρούμε ότι οι ευθείες γραμμές που μπορούμε να χωρίσουμε την σκακιέρα σε δύο μέρη είναι ( κατά την και κατά την ) και το κάθε τμήμα από τα δύο που χωρίζει η κάθε ευθεία γραμμή έχει άρτιο πλήθος τετραγώνων
Έστω ότι η κάθε γραμμή τέμνει ένα τουλάχιστον ντόμινο. Επειδή όμως τα ντόμινο ( ή ) κάθε τμήματος καταλαμβάνουν άρτιο πλήθος τετραγώνων κάθε τμήματος πρέπει και τα τεμνόμενα ντόμινο να είναι άρτιος αριθμός στο πλήθος (άρτιος -άρτιος=άρτιος), άρα τουλάχιστον τεμνόμενα ντόμινο από κάθε γραμμή.
Άρα συνολικά από τις δέκα γραμμές τουλάχιστον τεμνόμενα ντόμινο, άτοπο αφού τα ντόμινο που μπορούν να τοποθετηθούν σε σκακιέρα είναι .
Άρα υπάρχει ευθεία γραμμή (οριζόντια ή κάθετη) η οποία χωρίζει την σκακιέρα σε δύο μέρη χωρίς να κόψει κάποιο ντόμινο.