mathematica.gr


https://www.mathematica.gr/forum/

Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

https://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?t=51751

Σελίδα 1 από 9

Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Νοέμ 14, 2015 5:30 pm
από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Στο θέμα αυτό, θα προσπαθήσουμε να προετοιμάσουμε τους μαθητές της Α Γυμνασίου για τους διαγωνισμούς της ΕΜΕ που θα αντιμετωπίσουν στην Β Τάξη. Αφορμή για το

άνοιγμα αυτού του θέματος, στάθηκε το γεγονός ότι πάρα πολλά παιδιά της Β Τάξης συμμετέχουν στον διαγωνισμό ΘΑΛΗΣ , αλλά τα περισσότερα δεν έχουν κατάλληλα

εκπαιδευτεί , αφού κύρια πηγή της γνώσης τους είναι το σχολικό βιβλίο. Επίσης τα δύο θέματα που ήδη υπάρχουν στο mathematica με τίτλους ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΙ- ΓΥΜΝΑΣΙΟ και ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΕ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ, ξεπερνούν σε δυσκολία κατά πολύ το επίπεδο των θεμάτων για την Β Γυμνασίου.

Εδώ, θα τίθενται θέματα που είναι πάνω στο πνεύμα των διαγωνισμών της ΕΜΕ για την Β Γυμνασίου. Αν σε κάποια προτεινόμενη άσκηση η λύση ξεπερνάει τον στόχο μας,

τότε η άσκηση θα μετακινείται στο ¨ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΕ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ".

ΑΣΚΗΣΗ 1. Αν \displaystyle{a+b =999} και \displaystyle{a+c = 1001} , να βρεθεί η αριθμητική τιμή της παράστασης: \displaystyle{A=(2a+b+c)(c-b)}

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Νοέμ 14, 2015 5:47 pm
από Tolaso J Kos
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:
ΑΣΚΗΣΗ 1. Αν \displaystyle{a+b =999} και \displaystyle{a+c = 1001} , να βρεθεί η αριθμητική τιμή της παράστασης: \displaystyle{A=(2a+b+c)(c-b)}
Επειδή δε ξέρω σε ποιους αναφέρεται το θέμα, δηλ. αν είναι αποκλειστικά για τους μαθητές, βάζω μία λύση hide.
\displaystyle{\left.\begin{matrix} a+b=999 & \\ a+c=1001& \end{matrix}\right\}(-)\Rightarrow \left ( a+c \right )- \left ( a+b \right )=1001-999 \Leftrightarrow c-b= 2}

Συνεπώς για τη τιμή της παράστασης έχουμε:

\displaystyle{A= \left ( 2a+b+c \right )\left ( c-b \right )= \left ( a+b+a+c \right )\left ( c-b \right )= 2\cdot\left ( 999+1001 \right )=4000}

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Νοέμ 14, 2015 6:25 pm
από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
ΑΣΚΗΣΗ 2. Έστω \displaystyle{A=2^{101}.5^{99}+10^{99}-2^{99}.5^{100}} και \displaystyle{B=(2+\frac{3}{4}+\frac{5}{2}.\frac{7}{3+\frac{4}{5}}-\frac{1\frac{2}{3}}{2\frac{1}{2}}):(1+\frac{77}{228})}.

Να βρεθεί η τιμή της παράστασης \displaystyle{K=A^{100}+B^2}

(ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Οι αριθμοί \displaystyle{1\frac{2}{3} , 2\frac{1}{2}} είναι μικτοί)

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Νοέμ 14, 2015 7:17 pm
από Tolaso J Kos
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 2. Έστω \displaystyle{A=2^{101}.5^{99}+10^{99}-2^{99}.5^{100}} και \displaystyle{B=(2+\frac{3}{4}+\frac{5}{2}.\frac{7}{3+\frac{4}{5}}-\frac{1\frac{2}{3}}{2\frac{1}{2}}):(1+\frac{77}{228})}.

Να βρεθεί η τιμή της παράστασης \displaystyle{K=A^{100}+B^2}

(ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Οι αριθμοί \displaystyle{1\frac{2}{3} , 2\frac{1}{2}} είναι μικτοί)
Έχουμε για τον αριθμό A διαδοχικά:

\displaystyle{\begin{aligned} A &=2^{101}\cdot 5^{99}+ 10^{99}-2^{99}\cdot 5^{100} \\ &= 2^{101}\cdot 5^{99}+2^{99}\cdot 5^{99} - 2^{99}\cdot 5^{100}\\ &= 2^{99}\cdot 5^{99}\left ( 2^2 +1 -5 \right )\\ &= 0\\ \end{aligned}}

Πάμε για τον B και ας του φτιάξουμε πρώτα τα κλάσματα. Για τα μικτά κλάσματα έχουμε: \displaystyle{1\frac{2}{3}= \frac{5}{3}, \; 2\frac{1}{2}= \frac{5}{2}}. Οπότε ο B έρχεται στη μορφή:

\displaystyle{B= \left ( 2+ \frac{3}{4}+ \frac{5}{2}\cdot \frac{7}{3+ \frac{4}{5}}-\frac{\frac{5}{3}}{\frac{5}{2}} \right ): \left ( 1+ \frac{77}{228} \right )}

Τότε:
  • \displaystyle{1+ \frac{77}{228}=\frac{228}{288}+ \frac{77}{228}= \frac{305}{228}}
  • \displaystyle{2+ \frac{3}{4}+ \frac{5}{2}\cdot \frac{7}{3+ \frac{4}{5}}-\frac{\frac{5}{3}}{\frac{5}{2}}=\text{\gr πράξεις}= \frac{1525}{228}} (είναι επίπονη η πληκτρολόγηση και δε τολμώ να γράψω τις πράξεις αναλυτικά , αν και στο χαρτί τις έκανα)
Συνεπώς \displaystyle{B=\frac{1525}{228}: \frac{305}{228}= \frac{1525}{305}=5}

Συνεπώς K=0^{100} +5^2 =25

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Νοέμ 15, 2015 1:09 am
από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
ΑΣΚΗΣΗ 3 Τρεις φυσικοί αριθμοί έχουν άθροισμα 270. Αν από τον καθένα αφαιρέσουμε τον ίδιο φυσικό αριθμό, τότε βρίσκουμε τους

αριθμούς 24 , 81 , 132. Να βρεθούν οι τρεις αυτοί φυσικοί αριθμοί.

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Νοέμ 15, 2015 9:01 am
από papamixalis
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 3 Τρεις φυσικοί αριθμοί έχουν άθροισμα 270. Αν από τον καθένα αφαιρέσουμε τον ίδιο φυσικό αριθμό, τότε βρίσκουμε τους

αριθμούς 24 , 81 , 132. Να βρεθούν οι τρεις αυτοί φυσικοί αριθμοί.
Καλημέρα :logo:
Έστω ο αριθμός αυτός k

Τότε θα ισχύει

24+k+81+k+132+k=270 \Leftrightarrow 237+3k=270 \Leftrightarrow 3k=33 \Leftrightarrow k=11

Οπότε οι αριθμοί είναι

35,92,143


Φιλικά
Μιχάλης

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Νοέμ 15, 2015 3:58 pm
από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
ΑΣΚΗΣΗ 4. Έστω \displaystyle{A=\frac{1}{2016}+\frac{1}{2018}+\frac{1}{2020}+\frac{1}{2022}+\frac{1}{2024}+\frac{1}{2026}}. Να αποδείξετε ότι

ο \displaystyle{A} είναι πιο μεγάλος από τον αριθμό \displaystyle{\frac{1}{338}} και πιο μικρός από τον \displaystyle{\frac{1}{336}}

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Νοέμ 15, 2015 8:49 pm
από Σταμ. Γλάρος
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 4. Έστω \displaystyle{A=\frac{1}{2016}+\frac{1}{2018}+\frac{1}{2020}+\frac{1}{2022}+\frac{1}{2024}+\frac{1}{2026}}. Να αποδείξετε ότι

ο \displaystyle{A} είναι πιο μεγάλος από τον αριθμό \displaystyle{\frac{1}{338}} και πιο μικρός από τον \displaystyle{\frac{1}{336}}
Καλησπέρα!
Πολύ ωραίο πρόβλημα για κατανόηση του κλάσματος.
Είναι:A<\displaystyle{\frac{1}{2016}+\frac{1}{2016}+\frac{1}{2016}+\frac{1}{2016}+\frac{1}{2016}+\frac{1}{2016} = \frac{6}{2016}=\frac{1}{336} } και

A>\displaystyle{\frac{1}{2028}+\frac{1}{2028}+\frac{1}{2028}+\frac{1}{2028}+\frac{1}{2028}+\frac{1}{2028} = \frac{6}{2028}=\frac{1}{338} }.
Φιλικά.
Σταμ. Γλάρος

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Νοέμ 15, 2015 11:17 pm
από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
ΑΣΚΗΣΗ 5.: Να εξετάσετε αν υπάρχει φυσικός αριθμός \displaystyle{k} ώστε να ισχύει:

\displaystyle{(2^{60}:2^{56})^{2}-3^{18}:(3^{14} . 3^{2})+k(2^3 +3^2 ) = 2016}

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Νοέμ 15, 2015 11:25 pm
από xr.tsif
ΑΣΚΗΣΗ 6
Πόσα ψηφία έχει ο αριθμός 4^{9}\cdot 5^{19} , αν γραφτεί στην κανονική του μορφή;

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ

Δημοσιεύτηκε: Δευ Νοέμ 16, 2015 12:44 am
από george visvikis
xr.tsif έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 6
Πόσα ψηφία έχει ο αριθμός 4^{9}\cdot 5^{19} , αν γραφτεί στην κανονική του μορφή;
\displaystyle{{4^9} \cdot {5^{19}} = {({2^2})^9} \cdot {5^{19}} = {2^{18}} \cdot {5^{18}} \cdot 5 = 5 \cdot {(2 \cdot 5)^{18}} = 5 \cdot {10^{18}}}

Έχει 19 ψηφία.

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ

Δημοσιεύτηκε: Δευ Νοέμ 16, 2015 7:40 am
από papamixalis
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 5.: Να εξετάσετε αν υπάρχει φυσικός αριθμός \displaystyle{k} ώστε να ισχύει:

\displaystyle{(2^{60}:2^{56})^{2}-3^{18}:(3^{14} . 3^{2})+k(2^3 +3^2 ) = 2016}
Καλημέρα :logo:
(2^4)^2-\dfrac{3^{18}}{3^{16}} + k(8+9)=2016

2^8 - 3^2 + 17k=2016

256-9 +17k = 2016

17k=1769

k=\dfrac{1769}{17}

Κάνοντας την διαίρεση βλέπουμε πως ο αριθμός που προκύπτει δεν είναι φυσικός, άρα δεν υπάρχει τέτοιος φυσικός αριθμός k.


Φιλικά
Μιχάλης

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ

Δημοσιεύτηκε: Δευ Νοέμ 16, 2015 1:36 pm
από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
ΑΣΚΗΣΗ 7: Να βρείτε τον διψήφιο αριθμό \displaystyle{\bar{AB} (=10A+B)}, αν γνωρίζουμε ότι \displaystyle{\bar{AB}=10+2.\bar{BA}}

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ

Δημοσιεύτηκε: Δευ Νοέμ 16, 2015 2:36 pm
από papamixalis
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 7: Να βρείτε τον διψήφιο αριθμό \displaystyle{\bar{AB} (=10A+B)}, αν γνωρίζουμε ότι \displaystyle{\bar{AB}=10+2.\bar{BA}}

Καλησπέρα
10A+B=10+2(10B+A)

10A+B=10+20B+2A

8A=10+19B

A=\dfrac{10+19B}{8}

Για B=2 έχουμε A=6

Οπότε ο αριθμός \bar{AB} είναι το 62

Φιλικά
Μιχάλης

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ

Δημοσιεύτηκε: Δευ Νοέμ 16, 2015 6:48 pm
από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
ΑΣΚΗΣΗ 8: Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: \displaystyle{A=100(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+ ... +\frac{1}{11})+100(\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+ ...+\frac{10}{11})}

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ

Δημοσιεύτηκε: Δευ Νοέμ 16, 2015 6:52 pm
από papamixalis
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 8: Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: \displaystyle{A=100(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+ ... +\frac{1}{11})+100(\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+ ...+\frac{10}{11})}
Καλησπέρα
A=100(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}+...+ \dfrac{1}{11}+\dfrac{10}{11})

A=100(1+1+...+1)=100\cdot 10 = 1000

Φιλικά
Μιχάλης

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ

Δημοσιεύτηκε: Δευ Νοέμ 16, 2015 7:19 pm
από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
ΑΣΚΗΣΗ 9: Να βρείτε τρεις διαδοχικούς φυσικούς αριθμούς \displaystyle{a , b , c} , έτσι ώστε ο a να είναι πολλαπλάσιο του 2015 , ο b να είναι

πολλαπλάσιο του 2016 και ο c να είναι πολλαπλάσιο του 2017

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Δημοσιεύτηκε: Τρί Νοέμ 17, 2015 9:13 pm
από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
ΑΣΚΗΣΗ 10:Σε μια εκδρομή οι άνδρες ήταν 56 περισσότεροι από τις γυναίκες , οι γυναίκες 9 λιγότερες από τα παιδιά και τα παιδιά

αποτελούσαν το 20% του συνόλου των εκδρομέων. Να βρείτε πόσοι ήταν οι άνδρες , πόσες οι γυναίκες και πόσα τα παιδιά.

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ

Δημοσιεύτηκε: Τρί Νοέμ 17, 2015 9:27 pm
από papamixalis
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 9: Να βρείτε τρεις διαδοχικούς φυσικούς αριθμούς \displaystyle{a , b , c} , έτσι ώστε ο a να είναι πολλαπλάσιο του 2015 , ο b να είναι

πολλαπλάσιο του 2016 και ο c να είναι πολλαπλάσιο του 2017

Καλησπέρα :logo:

Οι αριθμοί είναι της μορφής a,a+1,a+2

a=k2015

b=l2016

c=m2017

a+1=l2015 + l

a+2=m2015+2m

Για k=l=m=1

οι αριθμοί a,b,c είναι οι 2015,2016,2017 οι οποίοι είναι πολλαπλάσια του εαυτού τους και είναι διαδοχικοί φυσικοί.

Φιλικά
Μιχάλης

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Δημοσιεύτηκε: Τρί Νοέμ 17, 2015 9:44 pm
από papamixalis
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 10:Σε μια εκδρομή οι άνδρες ήταν 56 περισσότεροι από τις γυναίκες , οι γυναίκες 9 λιγότερες από τα παιδιά και τα παιδιά

αποτελούσαν το 20% του συνόλου των εκδρομέων. Να βρείτε πόσοι ήταν οι άνδρες , πόσες οι γυναίκες και πόσα τα παιδιά.
Έστω x άνδρες y γυναίκες και z παιδιά.

x=y+56(1)

z=y+9(2)

z=0,2(x+y+z) (3)

(1) \Rightarrow x=z + 47

(3) \Rightarrow z=0,2(z+47+z-9 + z) \Leftrightarrow z=0,2(3z+38) \Leftrightarrow z=19

y=10

x=66

Άρα

66 άνδρες 10 γυναίκες και 19 παιδιά.

Φιλικά
Μιχάλης
Όλοι οι χρόνοι είναι UTC+03:00
Σελίδα 1 από 9

Δημιουργήθηκε από phpBB® Forum Software © phpBB Limited


Ελληνική μετάφραση από το phpbbgr.com