mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Νοέμ 15, 2015 6:17 pm**

Μια γεωμετρική ανισότητα που προέκυψε από μια μικρή έρευνα...

Έστω οξυγώνιο τρίγωνο ABC

.
Αν

τα ύψη του και

το ορθόκεντρό του , αποδείξτε ότι
$\displaystyle HD+ HE + HF\leq \frac{3}{2}R$ , όπου

η ακτίνα του περιγεγραμμένου του κύκλου.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Νοέμ 15, 2015 6:55 pm**

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: Έστω οξυγώνιο τρίγωνο .
Αν τα ύψη του και το ορθόκεντρό του , αποδείξτε ότι
$\displaystyle HD+ HE + HF\leq \frac{3}{2}R$ , όπου η ακτίνα του περιγεγραμμένου του κύκλου.

Έχουμε $\displaystyle { HD = BD \tan HBD = \frac {BD} {\tan C}= \frac {c\cos B} {\tan C}= \frac {c\cos B \cos C} {\sin C}= 2R \cos B \cos C$
και όμοια τα υπόλοιπα.

Το αποδεικτέο γίνεται

$\displaystyle { HD+ HE + HF = 2R (\cos B \cos C +\cos C \cos A + \cos A \cos B ) \le \frac{3}{2}R$ ή αλλιώς

$\displaystyle {\cos B \cos C +\cos C \cos A + \cos A \cos B \le \frac{3}{4}$

Τώρα αυτή είναι γνωστή ανισότητα και αποδεικνύεται ποικιλοτρόπως. Όπως και να είναι υπάρχει μία απόδειξη στο βιβλιαράκι του Κοντογιάννη, Ισότητες και ανισότητες στο τρίγωνο, σελίς 72.

Φιλικά,

Μιχάλης

Υ.Γ. Συμπληρώνω ότι με περίπου τον ίδιο τρόπο αποδεικνύεται η πρώτη της ξαδέλφη $AH +BH+CH \le 2R$ .

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Νοέμ 15, 2015 7:15 pm**

Μπορεί να βγει κάτι με αυτόν τον τρόπο?
Αν

το περίκεντρο και OOb , OOa , OOc

τα αποστήματα:
HD + HE + HF=AD + BE +CF - (AH+BH+CH)=

=AD+BE+CF -2(OOa + OOb +OOc )=AD+BE+CF-2(R+r)

(Από το θεώρημα του Carnot)
Στη συνέχεια:
$AD+BE+CF=2E(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=\frac{2E}{abc}\sum{ab} =\frac{1}{2R}\sum{ab}$
Αρκεί λοιπόν να δείξουμε πως $\sum{ab}\leq 2R(\frac{3}{2}R+2(R+r))$
=7R.R+4rR

Υπάρχει κάποια γεωμετρική ανισότητα για το $\sum{ab}$ ?

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Νοέμ 15, 2015 7:25 pm**

Είχα κάποτε βρει την εξής σχετική (?) άσκηση : Αν AH^2+BH^2+CH^2=7

και $AH\cdot BH\cdot CH=3$ , βρείτε ...

( δεν θυμάμαι το ζητούμενο , πάντως τα δεδομένα έχουν ενδιαφέρον )

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Νοέμ 15, 2015 8:18 pm**

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε:Μια γεωμετρική ανισότητα που προέκυψε από μια μικρή έρευνα...

Έστω οξυγώνιο τρίγωνο .
Αν τα ύψη του και το ορθόκεντρό του , αποδείξτε ότι
$\displaystyle HD+ HE + HF\leq \frac{3}{2}R$ , όπου η ακτίνα του περιγεγραμμένου του κύκλου.

$\displaystyle{HA + HB + HC = 2R(\cos A + \cos B + \cos C) \le 2R \cdot \frac{3}{2} \Leftrightarrow }$ $\displaystyle{HA + HB + HC \le 3R}$

Αλλά, $\displaystyle{HA + HB + HC \ge 2(HD + HE + HF) \Leftrightarrow }$ $\boxed{HD + HE + HF \le \frac{{3R}}{2}}$

Η ισότητα ισχύει στο ισόπλευρο τρίγωνο.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Νοέμ 15, 2015 10:19 pm**

KARKAR έγραψε:Είχα κάποτε βρει την εξής σχετική (?) άσκηση : Αν

και $AH\cdot BH\cdot CH=3$ , βρείτε ...

...την ακτίνα $\displaystyle{R}.$

mathematica.gr

ΚΥΡΙΑΚΑΤΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

ΚΥΡΙΑΚΑΤΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

Re: ΚΥΡΙΑΚΑΤΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

Re: ΚΥΡΙΑΚΑΤΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

Re: ΚΥΡΙΑΚΑΤΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

Re: ΚΥΡΙΑΚΑΤΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

Re: ΚΥΡΙΑΚΑΤΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ