mathematica.gr

...Μετά την απόδειξη του Rolle στην τάξη (...έχοντας κάνει το Θεώρημα του Fermat...) ένας μαθητής με ρώτησε

...αν γίνεται να απόδείξουμε, ότι, στο σημείο που προκύπτει από το θεώρημα, είναι θεση ακροτάτου δηλαδή το εξής:

Έστω συνεχής στο , και παραγωγίσιμη στο με .

Αν τέτοιο ώστε τότε το είναι θέση τοπικού ακροτάτου.

...πιστεύω ότι αξίζει την συζήτηση...

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

KAKABASBASILEIOS έγραψε:...Μετά την απόδειξη του Rolle στην τάξη (...έχοντας κάνει το Θεώρημα του Fermat...) ένας μαθητής με ρώτησε

...αν γίνεται να απόδείξουμε, ότι, στο σημείο που προκύπτει από το θεώρημα, είναι θεση ακροτάτου δηλαδή το εξής:

Έστω συνεχής στο , και παραγωγίσιμη στο με .

Αν τέτοιο ώστε τότε το είναι θέση τοπικού ακροτάτου.

...πιστεύω ότι αξίζει την συζήτηση...

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Καλησπέρα!

Δεν ισχύει απαραίτητα αυτό.

Το γνωστό παράδειγμα με μπορεί να μας δώσει μια συνάρτηση στο διάστημα , ας πούμε, τέτοια ώστε

,

, ας πούμε για

και με κατάλληλη επέκταση από το στο σε παραγωγίσιμη συνάρτηση.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Φυσικά η απάντηση είναι ΟΧΙ.

Αν βάλουμε και άλλες προυποθέσεις μπορεί να γινεί ναι.
π.χ Αν το σημείο μηδενισμού της παραγώγου είναι μοναδικό τότε
αυτό είναι ακρότατο και μάλιστα ολικό
(εννοείται ότι πρέπει να ισχύουν οι προυποθέσεις του Rolle)

Όπως λέει και ο Αχιλλέας, δεν είναι απαραίτηο. Π.χ. η μπορεί να οριστεί σε διάστημα που περιέχει το μηδέν, στο οποίο ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του Rolle. Ωστόσο στο μηδέν, αν και είναι δεν παρουσιάζει ακρότατο.

Άλλο ένα αντιπαράδειγμα είναι και η συνάρτηση





ορισμένη σε κατάλληλο διάστημα ώστε .

KAKABASBASILEIOS έγραψε:...

Έστω συνεχής στο , και παραγωγίσιμη στο με .

Αν η συνάρτηση είναι σταθερή προφανώς.

Αν δεν είναι σταθερή τότε περιέχει μέγιστη και ελάχιστη τιμή, άρα στα σημεία αυτά αυτό επιβεβαιώνει την ύπαρξη τέτοιων σημείων, δηλαδή την ισχύ του θεωρήματος Rolle.

Ο μαθητής λέει:

KAKABASBASILEIOS έγραψε: Αν τέτοιο ώστε τότε το είναι θέση τοπικού ακροτάτου.

Δηλαδή ισχυρίζεται ότι οι λύσεις της εξίσωσης είναι θέσεις ακροτάτων.

Το λάθος είναι ότι το σύνολο των λύσεων της παραπάνω εξίσωσης είναι υπερσύνολο του συνόλου των σημείων που η συνάρτηση παρουσιάζει ακρότατα.

Το ερώτημα είναι: Ποιες είναι οι συνθήκες όπου τα δύο σύνολα ταυτίζονται.

Christos.N έγραψε: Δηλαδή ισχυρίζεται ότι οι λύσεις της εξίσωσης είναι θέσεις ακροτάτων.

Το λάθος είναι ότι το σύνολο των λύσεων της παραπάνω εξίσωσης είναι υπερσύνολο του συνόλου των σημείων που η συνάρτηση παρουσιάζει ακρότατα.

Το ερώτημα είναι: Ποιες είναι οι συνθήκες όπου τα δύο σύνολα ταυτίζονται.

Νομίζω ότι για να ταυτιστούν τα δύο σύνολα θα πρέπει για κάθε λύση της να υπάρχει μια γειτoνιά του στην οποία,

είτε η να διατηρεί σταθερό πρόσημο σε καθένα από τα υποδιαστήματα και το αλλάζει εκατέροθεν του

είτε υπάρχει γειτονιά στην οποία σε όλα τα σημεία της.

KAKABASBASILEIOS έγραψε:
Αν τέτοιο ώστε τότε το είναι θέση τοπικού ακροτάτου.

Δεν νομίζω ότι ο μαθητής ρωτά αυτό, αλλά το εξής :

Αν η συνεχής στο και παραγωγίσιμη στο , με τότε υπάρχει τέτοιο, ώστε το σημείο να είναι σημείο τοπικού ακροτάτου που φυσικά ισχύει, αφού κιόλας διδάξατε το Θεώρημα Fermat.
Μπορούμε να πούμε ότι ταυτίζεται με το του Rolle ;
Φυσικά, την άνεση για κάτι τέτοιο μας τη δίνει η λέξη τουλάχιστον που διατυπώνεται σαφώς μέσα στο Rolle.
Κοινώς το σημείο του Rolle , βάσει ορισμού δεν είναι ένα και μοναδικό. Είναι ένα ή και περισσότερα ακρότατα ή ένα ή και περισσότερα σημεία στα οποία η εφαπτομένη είναι οριζόντια. Σίγουρα όμως δεν είναι μόνο σημεία ΜΗ τοπικά ακρότατα που δέχονται οριζόντια εφαπτομένη.

Λάμπρος Μπαλός έγραψε:....
Δεν νομίζω ότι ο μαθητής ρωτά αυτό, αλλά το εξής :

Αν η συνεχής στο και παραγωγίσιμη στο , με τότε υπάρχει τέτοιο, ώστε το σημείο να είναι σημείο τοπικού ακροτάτου που φυσικά ισχύει, αφού κιόλας διδάξατε το Θεώρημα Fermat.....

Αν ρωτάει κάτι τέτοιο, τότε δε χρειάζεται καν η να είναι παραγωγίσιμη, αρκεί η συνέχεια της.

Αφού ως συνεχής σε κλειστό διάστημα έχει ελάχιστο και μέγιστο.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Ναι, προφανώς κύριε Αχιλλέα.
Παρόλα αυτά, η ουσία του ερωτήματος βρίσκεται παρακάτω. Αν αυτό το σημείο είναι το σημείο του Rolle.
Εδώ υπάρχει μία όχι και τόσο στρωτή διατύπωση καθώς το σημείο του Rolle είναι, όπως διατυπώνεται, ένα τουλάχιστον με οριζόντια εφαπτομένη.
Πράγματι, το ακρότατο της συνάρτησης που ικανοποιεί τις προυποθέσεις του Rolle (οπότε και εσωτερικό και παραγωγίσιμη η συνάρτηση) είναι ένα τουλάχιστον σημείο όπου η συνάρτηση δέχεται οριζόντια εφαπτομένη. Είναι δηλαδή σημείο του Rolle.

KAKABASBASILEIOS έγραψε:...Μετά την απόδειξη του Rolle στην τάξη (...έχοντας κάνει το Θεώρημα του Fermat...) ένας μαθητής με ρώτησε

...αν γίνεται να απόδείξουμε, ότι, στο σημείο που προκύπτει από το θεώρημα, είναι θεση ακροτάτου δηλαδή το εξής:

Έστω συνεχής στο , και παραγωγίσιμη στο με .

Αν τέτοιο ώστε τότε το είναι θέση τοπικού ακροτάτου.

...πιστεύω ότι αξίζει την συζήτηση...

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Ότι αξίζει την συζήτηση, την αξίζει, ειδικά για τους μαθητές μιας και αυτές οι ερωτήσεις περιέχουν την ουσία πολλές φορές. Μαζι με την γεωμετρική ερμηνεία των θεωρημάτων μέσης τιμής είναι το ζουμί του κεφαλαίου πιστεύω.

Νομίζω πως πρέπει να εξηγηθεί ότι, όντως η απόδειξη του θεωρήματος Rolle με το θεώρημα Fermat βρίσκει τα σημεία τοπικού ακροτάτου. Στην ουσία μας λέει οτι η καμπύλη θα έχει "σκαμπανευάσματα" αν ισχύουν οι προυποθέσεις του Rolle και από την στιγμή που είναι παραγωγίσιμη "λεία" η εφαπτομένη σε αυτό το σημείο του τοπικού ακροτάτου (που μας το δίνει το θεώρημα μέγιστης ελάχιστης τιμής,Weierstrass) θα είναι οριζόντια (Θεώρημα Fermat).

Το ότι ενδεχομένως υπάρχουν και άλλα σημεία που η παράγωγος μηδενίζεται μας το δίνει το γεγονός ότι το θέωρημα Fermat δεν είναι αναγκαία και ικανή συνθήκη για να έχουμε τοπικό ακρότατο, αλλά μόνο αναγαία. Αυτό θα πρέπει να γίνει καθαρό στο μαθητή. Εδώ μπορούμε να φέρουμε τα γνωστά αντιπαραδείγματα, μερικά από τα οποία προαναφέρθηκαν παραπάνω.

Θα ήταν λάθος να φέρουμε σαν παράδειγμα μηδενισμού της παραγώγου στο Rolle, κάποια από τα σημεία που η παράγωγος είναι μηδέν χωρίς να είναι τοπικό ακρότατο. Γιατί αυτό δεν ισχύει πάντα.

KAKABASBASILEIOS έγραψε:...Μετά την απόδειξη του Rolle στην τάξη (...έχοντας κάνει το Θεώρημα του Fermat...) ένας μαθητής με ρώτησε

Σαν γενικότερη παρατήρηση χωρίς να είμαι μαθηματικός, και ίσως μου διαφεύγουν πολλές παράμετροι. Απορώ γιατί το σχολικό βιβλίο δεν ακολουθεί αυτή τη σειρά, μιας και είναι σειρά που χρησιμοποείται στα περισσότερα βιβλία ανάλυσης. Από παιδαγωγικής άποψης νομίζω είναι καλύτερα έτσι, μιας και το μόνο κενό στην αλυσίδα θα μείνει η απόδειξη του θεωρήματος Μέγιστης Ελάχιστης Τιμής, που όντως ξεφεύγει από την ύλη του σχολείου.

Επίσης θα ήταν παιδαγωγικά σκόπιμο να υπάρχει και η απόδειξη του Θεωρήματος Μέσης Τιμής, η έννοια της κατασκευής βοηθητικής συνάρτησης δηλαδή να ενταχτεί στην θεωρία, παρά να είναι κάτι μαγικό το οποίο αναζητούμε για να επιλύσουμε τις ασκήσεις (δεν πάνε όλα τα παιδιά φροντιστήριο). Αν θυμάμαι καλά πολλές φορές εχει ζητηθεί κάτι τέτοιο στις πανελλήνιες άρα είναι κάτι που θέλουμε ο μαθητής να το ξέρει.