mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Δεκ 26, 2015 9:10 pm**

στρατιώτες πεζοπορούν με ταχύτητα 5km/h

και ένα τζιπ με τον οδηγό του, που μπορεί να μεταφέρει

άτομα (

άτομα και ο οδηγός) με ταχύτητα 35km/h

πρέπει να φτάσουν, το συντομότερο δυνατόν, από το σημείο

που βρίσκονται στο σημείο

, που απέχει 30km

.
Να βρεθεί ο μικρότερος δυνατός χρόνος που θα απαιτηθεί για να φτάσουν όλοι ταυτόχρονα στο σημείο

.

Ευθύμης

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Δεκ 30, 2015 10:43 am**

Επαναφορά

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Δεκ 30, 2015 5:04 pm**

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Δεκ 31, 2015 9:26 am**

ealexiou έγραψε: στρατιώτες πεζοπορούν με ταχύτητα και ένα τζιπ με τον οδηγό του, που μπορεί να μεταφέρει άτομα ( άτομα και ο οδηγός) με ταχύτητα πρέπει να φτάσουν, το συντομότερο δυνατόν, από το σημείο που βρίσκονται στο σημείο , που απέχει .
Να βρεθεί ο μικρότερος δυνατός χρόνος που θα απαιτηθεί για να φτάσουν όλοι ταυτόχρονα στο σημείο .

Ευθύμης

Θα δείξω, αργότερα, ότι αν το όχημα πάρει τους πρώτους

πεζοπόρους και τους αφήσει σε απόσταση

από την αφετηρία , τότε S = 20km

.

Το συνολικό διάστημα , που διανύει το όχημα είναι : $S + \dfrac{3}{4}S + S + \dfrac{3}{4}S + S = \dfrac{9}{2}S$

Ο χρόνος διαδρομής του

είναι $\dfrac{{20}}{{35}} = \dfrac{4}{7}h$ και άρα ο συνολικός $\boxed{t = \dfrac{9}{2} \cdot \dfrac{4}{7} = \dfrac{{18}}{7}h}$ .

Όλα τα λεφτά βεβαίως της άσκησης είναι η τεκμηρίωση των 20km

.

Ας τα πούμε λοιπόν και αναλυτικά.

: Στρατιώτες_1.png (4.55 KiB) Προβλήθηκε 1168 φορές

1. Παίρνει το όχημα τους πρώτους

πεζοπόρους και τους αποβιβάζει στο σημείο

της διαδρομής AT = 30km

(

αφετηρία και T =

τέρμα).

Τότε θα έχει κάνει χρόνο διαδρομής $\boxed{{t_1} = \dfrac{S}{{35}}}$ και οι υπόλοιποι πεζοπόροι θα έχουν διανύσει ταυτόχρονα απόσταση $\dfrac{{5S}}{{35}} = \dfrac{S}{7}$ .

Ξεκινά τώρα το όχημα να επιστέψει για την παραλαβή άλλης τετραμελούς ομάδας πεζοπόρων . Εκείνη τη χρονική στιγμής θα έχουμε τα παρακάτω:

2.

: Στρατιώτες_2.png (3.65 KiB) Προβλήθηκε 1168 φορές

Απόσταση ${A_1}B = S - \dfrac{S}{7} = \dfrac{{6S}}{7} = d$ . Επειδή όμως κινούνται ταυτόχρονα με αντίθετες κατευθύνσεις θα συναντηθούν σε ένα σημείο ${A_2}$ με απόσταση έστω

από το ${A_1}$ και

Από το

απόσταση

. Πρέπει $\dfrac{x}{5} = \dfrac{{d - x}}{{35}} \Rightarrow x = \dfrac{d}{8}$ και κατά συνέπεια το όχημα θα κινηθεί κατά $d - \dfrac{d}{8} = \dfrac{{7d}}{8} = \dfrac{7}{8} \cdot \dfrac{{6S}}{7} = \dfrac{3}{4}S$ .

Όλα αυτά σε χρόνο διαδρομής $\boxed{{t_2} = \dfrac{{\dfrac{{3S}}{4}}}{{35}} = \dfrac{{3S}}{{140}}}$ .

Σ αυτό το διάστημα οι ποδαράτοι του σημείου

, με κατεύθυνση το

έχουν διατρέξει διάστημα $B{B_1} = \dfrac{{3S}}{{140}} \cdot 5 = \dfrac{{3S}}{{28}}$ .

3. Τώρα το όχημα παίρνει άλλους

πεζοπόρους και ξεκινά με προορισμό να συναντήσει τους προηγούμενους ποδαράτους σε κάποιο σημείο ${B_2}$ .

Η απόσταση ${A_2}{B_1} = \dfrac{{3S}}{4} + \dfrac{{3S}}{{28}} = \dfrac{{6S}}{7} = {d_1}$

: Στρατιώτες_3.png (4.17 KiB) Προβλήθηκε 1168 φορές

Ας είναι πάλι η απόσταση αυτή ${d_1}$ και ${B_1}{B_2} = y$ . θα ισχύει τώρα $\dfrac{{{d_1} + y}}{{35}} = \dfrac{{{d_1}}}{5} \Rightarrow y = \dfrac{{{d_1}}}{6}$ και άρα το όχημα θα διατρέξει διαδρομή ${A_2}{B_2} = {d_1} + y = \dfrac{{6S}}{7} + \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{{6S}}{7} \Rightarrow \boxed{{A_2}{B_2} = S}$ και άρα χρόνο διαδρομής πάλι $\boxed{{t_3} = {t_1} = \dfrac{S}{{35}}}$

: Στρατιώτες_4.png (4.5 KiB) Προβλήθηκε 1168 φορές

Επί της ουσίας εδώ τελειώσαμε αφού θα έχουμε επανάληψη και θα τερματίσουν όλοι ταυτόχρονα .

Επειδή η διαφορά $\boxed{S - \dfrac{3}{4}S = \dfrac{1}{4}S = B{B_2}}$ άρα με την ίδια λογική ${B_2}T = \dfrac{1}{4}S$ συνεπώς $AT = S + \dfrac{1}{4}S + \dfrac{1}{4}S = \dfrac{3}{2}S = 30$ θα είναι $\boxed{S = 20km}$ .

Όμως το όχημα διέτρεξε συνολικά: $S + \dfrac{{3S}}{4} + S + \dfrac{{3S}}{4} + S = \dfrac{{9S}}{2}$ θα έχουμε συνολικό χρόνο :

$\boxed{{t_{\max }} = \dfrac{{18}}{7}h}$

Ν.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Δεκ 31, 2015 10:56 am**

Doloros έγραψε:
Όλα τα λεφτά βεβαίως της άσκησης είναι η τεκμηρίωση των .

Ν.

Έχω κάποιες σκέψεις..., π.χ. ανεξαρτήτως ταχυτήτων, το σημείο που αφήνει φαντάρους την δεύτερη φορά είναι στη μέση του τέρματος και του σημείου που αφήνει φαντάρους την πρώτη φορά...κ.α.

Νίκο, αναμένω...

Νίκο, Ευθύμη και όλοι οι λοιποί φίλοι Χρόνια πολλά!!!

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Δεκ 31, 2015 11:06 am**

rek2 έγραψε:
Doloros έγραψε:
Όλα τα λεφτά βεβαίως της άσκησης είναι η τεκμηρίωση των .

Ν.

Έχω κάποιες σκέψεις..., π.χ. ανεξαρτήτως ταχυτήτων, το σημείο που αφήνει φαντάρους την δεύτερη φορά είναι στη μέση του τέρματος και του σημείου που αφήνει φαντάρους την πρώτη φορά...κ.α.

Νίκο, αναμένω...

Νίκο, Ευθύμη και όλοι οι λοιποί φίλοι Χρόνια πολλά!!!

Ευθύμη και Κώστα χρόνια πολλά .

Χρόνια πολλά σε όλους

Κώστα

Αυτό ακριβώς απέδειξα πιο πάνω αλλά ... πολύ γράψιμο για να μην αφήνει παρανόηση

Ν.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Δεκ 31, 2015 12:23 pm**

Νίκο, να οι σκέψεις μου. Θα χρησιμοποιήσω τεχνική ενός μετρ της πρακτικής σκέψης (*) για να δείξω ότι ανεξαρτήτως ταχυτήτων: AA_1=A_1A_2=BB_2=B_2T

Ας υποθέσουμε ότι καταγράψαμε όλη την ιστορία σε ταινία.

Παίζοντας ταυτόχρονα την ταινία από την αρχή και μια κόπια της ... από το τέλος (!!)... βλέπουμε ότι AA_1=B_2T, A_1A_2=BB_2.

Τώρα παίζουμε την ταινία από την αρχή και ταυτόχρονα την κόπια της να αρχίζει από την στιγμή που το όχημα παίρνει τους φαντάρους από το A_1

. Στην ταινία παίζεται το σκηνικό με τα σημεία A, B, B_2

και στην κόπια με τα σημεία A_1, B_2 , T

. Αφού

βλέπουμε ότι BB_2=B_2T

κ.λπ.

(Με τα νούμερα του Ευθύμη θα προκύψει επί πλέον A_2B=2BB_2=2B_2T

. Έτσι αν πάρουμε και το μέσο

του

, τότε το AT θα έχει διαιρεθεί με τα σημεία A_1, A_2, M, B, B_2

σε 6 ίσα τμήματα)

-----------------------------------------------------------------------------
(*) Με την τεχνική αυτή μου είχε λύσει το εξής πρόβλημα:

Ένα λεωφορείο φεύγει μια μέρα στις 8 το πρωί από Αθήνα για Πάτρα και επιστρέφει την άλλη μέρα αναχωρώντας στις 9 το πρωί από Πάτρα. (Έκανε και στάσεις για καφέ κ.λπ. και η ταχύτητα του δεν ήταν, προφανώς, σταθερή. Έχουμε κανονικές συνθήκες ταξιδιού ενός λεωφορείου δηλαδή.)

Να αποδειχτεί ότι υπάρχει ακριβώς ένα σημείο που πέρασε από αυτό και τις δύο ημέρες την ίδια ώρα.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Δεκ 31, 2015 1:22 pm**

rek2 έγραψε: -----------------------------------------------------------------------------
(*) Με την τεχνική αυτή μου είχε λύσει το εξής πρόβλημα:

Ένα λεωφορείο φεύγει μια μέρα στις 8 το πρωί από Αθήνα για Πάτρα και επιστρέφει την άλλη μέρα αναχωρώντας στις 9 το πρωί από Πάτρα. (Έκανε και στάσεις για καφέ κ.λπ. και η ταχύτητα του δεν ήταν, προφανώς, σταθερή. Έχουμε κανονικές συνθήκες ταξιδιού ενός λεωφορείου δηλαδή.)

Να αποδειχτεί ότι υπάρχει ακριβώς ένα σημείο που πέρασε από αυτό και τις δύο ημέρες την ίδια ώρα.

Ναι δίκιο έχεις . Γνωστό, παρεμφερές, πρόβλημα της ανάλυσης ( με σύμβασης συνεχείας) και Θ. Bolzano

N.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Δεκ 31, 2015 8:03 pm**

Νίκο και Κώστα Καλή Χρονιά και ευχαριστώ για την συμμετοχή σας και για τις λύσεις που δώσατε.

Η προσέγγιση του βιβλίου από όπου πήρα το θέμα (με κάποιες μικροαλλαγές):

Χωρίζονται οι

στρατιώτες σε τρεις ομάδες A,B,C

των τεσσάρων ατόμων. Προφανώς θα κάνουν το ίδιο διάστημα με το τζιπ, όπως και με τα πόδια διότι:

Αν

το διάστημα που θα κάνει με το τζιπ η

ομάδα και άρα 30-d

με τα πόδια και αντίστοιχα

και

η

ομάδα και

και

η

ομάδα.

Οπότε ο συνολικός χρόνος για την

ομάδα είναι $\dfrac{d}{35}+\dfrac{30-d}{5}$ , για την

ομάδα είναι $\dfrac{e}{35}+\dfrac{30-e}{5}$ και για την

είναι $\dfrac{f}{35}+\dfrac{30-f}{5}$

Και αφού οι τρεις αυτοί χρόνοι είναι ίσοι έχουμε:

$\dfrac{d}{35}+\dfrac{30-d}{5}=\dfrac{e}{35}+\dfrac{30-e}{5}=\dfrac{f}{35}+\dfrac{30-f}{5}\Rightarrow \boxed{d=e=f }$ και αφού θα κάνουν με το τζιπ τον ίδιο χρόνο, έπεται ότι και με τα πόδια θα κάνουν τον ίδιο χρόνο.

Ας δούμε διαγραμματικά την

ομάδα (αντίστοιχα και για τις άλλες δύο).

: Μεταφορά στρατιωτών.png (5.61 KiB) Προβλήθηκε 1078 φορές

Το τζιπ πάει την ομάδα

στο σημείο A_1

και γυρίζοντας πίσω συναντά τις τις άλλες δύο ομάδες στο σημείο B_1C_1

οπότε έχουμε το σύστημα:

$\begin{cases} & x+y = 7a\\ & a+2y=7a\end{cases}\ \Rightarrow y=3a \ \wedge\ x=4a$
οπότε η συνολική διαδρομή για την κάθε ομάδα είναι $4a+2a=30\Rightarrow a=5\ km$

Άρα $d=e=f=x=4\cdot5=20\ km\ \wedge 30-d=30-e=30-f=10\ km$
΄
Από την εξίσωση του χρόνου,όποια από τις τρεις, έχουμε $t=\dfrac{d}{35}+\dfrac{30-d}{5}=$ $\dfrac{20}{35}+\dfrac{10}{5}\Rightarrow \boxed{t=\dfrac{18}{7}\ h}$

Παρεμπιπτόντως αναφέρω ότι η αξιολόγηση του θέματος από τον συγγραφέα του βιβλίου είναι B****

, που σημαίνει Β' Γυμνασίου πολύ δύσκολη. (Η αξιολόγηση είναι από μηδέν έως

αστέρια για κάθε τάξη). Αισιόδοξος δεν είναι;

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιαν 01, 2016 4:34 pm**

ealexiou έγραψε:Νίκο και Κώστα Καλή Χρονιά και ευχαριστώ για την συμμετοχή σας και για τις λύσεις που δώσατε.

Η προσέγγιση του βιβλίου από όπου πήρα το θέμα (με κάποιες μικροαλλαγές):

Χωρίζονται οι στρατιώτες σε τρεις ομάδες των τεσσάρων ατόμων. Προφανώς θα κάνουν το ίδιο διάστημα με το τζιπ, όπως και με τα πόδια διότι:

Αν το διάστημα που θα κάνει με το τζιπ η ομάδα και άρα με τα πόδια και αντίστοιχα και η ομάδα και και η ομάδα.

Οπότε ο συνολικός χρόνος για την ομάδα είναι $\dfrac{d}{35}+\dfrac{30-d}{5}$ , για την ομάδα είναι $\dfrac{e}{35}+\dfrac{30-e}{5}$ και για την είναι $\dfrac{f}{35}+\dfrac{30-f}{5}$

Και αφού οι τρεις αυτοί χρόνοι είναι ίσοι έχουμε: Ευθύμη, εδώ είναι τα λεφτά, όπως λέει και ο Νίκος. Πως συμπεραίνει ότι οι χρόνοι είναι ίσοι;

$\dfrac{d}{35}+\dfrac{30-d}{5}=\dfrac{e}{35}+\dfrac{30-e}{5}=\dfrac{f}{35}+\dfrac{30-f}{5}\Rightarrow \boxed{d=e=f }$ και αφού θα κάνουν με το τζιπ τον ίδιο χρόνο, έπεται ότι και με τα πόδια θα κάνουν τον ίδιο χρόνο.

Ας δούμε διαγραμματικά την ομάδα (αντίστοιχα και για τις άλλες δύο).

Μεταφορά στρατιωτών.png
Το τζιπ πάει την ομάδα στο σημείο και γυρίζοντας πίσω συναντά τις τις άλλες δύο ομάδες στο σημείο οπότε έχουμε το σύστημα:

$\begin{cases} & x+y = 7a\\ & a+2y=7a\end{cases}\ \Rightarrow y=3a \ \wedge\ x=4a$
οπότε η συνολική διαδρομή για την κάθε ομάδα είναι $4a+2a=30\Rightarrow a=5\ km$

Άρα $d=e=f=x=4\cdot5=20\ km\ \wedge 30-d=30-e=30-f=10\ km$
΄
Από την εξίσωση του χρόνου,όποια από τις τρεις, έχουμε $t=\dfrac{d}{35}+\dfrac{30-d}{5}=$ $\dfrac{20}{35}+\dfrac{10}{5}\Rightarrow \boxed{t=\dfrac{18}{7}\ h}$

Παρεμπιπτόντως αναφέρω ότι η αξιολόγηση του θέματος από τον συγγραφέα του βιβλίου είναι , που σημαίνει Β' Γυμνασίου πολύ δύσκολη. (Η αξιολόγηση είναι από μηδέν έως αστέρια για κάθε τάξη). Αισιόδοξος δεν είναι;

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιαν 01, 2016 11:39 pm**

Κώστα, συμφωνώ ότι ο Νίκος σωστά γράφει αυτό που γράφει

Doloros έγραψε:
Ο χρόνος διαδρομής του S είναι $\dfrac{{20}}{{35}} = \dfrac{4}{7}h$ και άρα ο συνολικός $\boxed{t = \dfrac{9}{2} \cdot \dfrac{4}{7} = \dfrac{{18}}{7}h}$ .

Όλα τα λεφτά βεβαίως της άσκησης είναι η τεκμηρίωση των 20km

Ν.

αλλά και εγώ επίσης σωστά γράφω αυτό που γράφω.

ealexiou έγραψε:
Οπότε ο συνολικός χρόνος για την ομάδα είναι $\dfrac{d}{35}+\dfrac{30-d}{5}$ , για την ομάδα είναι $\dfrac{e}{35}+\dfrac{30-e}{5}$ και για την είναι $\dfrac{f}{35}+\dfrac{30-f}{5}$

Και αφού οι τρεις αυτοί χρόνοι είναι ίσοι (ουσιαστικά πρόκειται για τον ίδιο χρόνο αφού ξεκινάνε ταυτόχρονα και φτάνουν στον προορισμό τους ταυτόχρονα) έχουμε:

$\dfrac{d}{35}+\dfrac{30-d}{5}=\dfrac{e}{35}+\dfrac{30-e}{5}=\dfrac{f}{35}+\dfrac{30-f}{5}\Rightarrow \boxed{d=e=f }$ και αφού θα κάνουν με το τζιπ τον ίδιο χρόνο, έπεται ότι και με τα πόδια θα κάνουν τον ίδιο χρόνο.

mathematica.gr

Μεταφορά στρατιωτών

Μεταφορά στρατιωτών

Re: Μεταφορά στρατιωτών

Re: Μεταφορά στρατιωτών

Re: Μεταφορά στρατιωτών

Re: Μεταφορά στρατιωτών

Re: Μεταφορά στρατιωτών

Re: Μεταφορά στρατιωτών

Re: Μεταφορά στρατιωτών

Re: Μεταφορά στρατιωτών

Re: Μεταφορά στρατιωτών

Re: Μεταφορά στρατιωτών