mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιαν 06, 2016 2:51 pm**

Δίνεται τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ με $\mathop B\limits^ \wedge = {120^0}$ . Αν ${\rm A}\Delta$ , ${\rm B}{\rm E}$ και $\Gamma {\rm Z}$ είναι οι τρεις διχοτόμοι του τριγώνου ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ .

Α) Να δείξετε ότι η ${\rm E}{\rm Z}$ είναι διχοτόμος της γωνίας $\mathop {{\rm A}{\rm E}{\rm B}}\limits^ \wedge$ .

Β) Να υπολογίσετε το μέτρο της γωνίας $\mathop {\Delta {\rm E}{\rm Z}}\limits^ \wedge$ .

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιαν 06, 2016 2:54 pm**

paylos έγραψε:Δίνεται τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ με $\mathop B\limits^ \wedge = {120^0}$ . Αν ${\rm A}\Delta$ , ${\rm B}{\rm E}$ και $\Gamma {\rm Z}$ είναι οι τρεις διχοτόμοι του τριγώνου ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ .

Α) Να δείξετε ότι η ${\rm E}{\rm Z}$ είναι διχοτόμος της γωνίας $\mathop {{\rm A}{\rm E}{\rm B}}\limits^ \wedge$ .

Β) Να υπολογίσετε το μέτρο της γωνίας $\mathop {\Delta {\rm E}{\rm Z}}\limits^ \wedge$ .

: τρείς διχοτόμοι_Paylos.png (28.96 KiB) Προβλήθηκε 1393 φορές

Έστω $K\,\,\kappa \alpha \iota \,\,L$ οι προβολές του

στις $BE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC$ αντίστοιχα . Θεωρούμε ακόμα σημείο

στην

με $\widehat {ATZ} = 60^\circ$ .

Θα είναι :

1. $\vartriangle TCZ = \vartriangle BCZ$ και

2. $\vartriangle KBZ = \vartriangle LTZ$

Άρα ZK = ZL

που αποδεικνύει το πρώτο ερώτημα .

Ομοίως η

διχοτομεί την $\widehat {BRC}$ , οπότε $\widehat {ZED} = 90^\circ$

N.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιαν 06, 2016 7:42 pm**

Το

βρίσκεται στη διχοτόμο της

άρα ισαπέχει από τις

,

και ομοίως:
Το

βρίσκεται στη διχοτόμο της EBx

άρα ισαπέχει από τις

,

(

είναι η ημιευθεία

)
Άρα το

ισαπέχει από τις

,

και συνεπώς βρίσκεται στη διχοτόμο της $\angle AEB$

Ομοίως το

ανήκει στην εξωτερική διχοτόμο της $\angle ABE$ άρα ισαπέχει από τις AB, BE

.
Το

βρίσκεται στη διχοτόμο της

άρα ισαπέχει από τις

,

Άρα τελικά το

ισαπέχει από τις BE,AC

και συνεπώς ανήκει στη διχοτόμο της $\angle BEC$

Το

ανήκει στο εσωτερικό του τμήματος

, επομένως και η

είναι στο εσωτερικό της γωνίας $\angle AEB$ . Δηλαδή όντως η

είναι η εσωτερική διχοτόμος της $\angle AEB$ . Ομοίως βρίσκουμε και για την

ότι είναι εσωτερική.
Τελικά $ZE\perp ED$ ως διχοτόμοι εφεξής παραπληρωματικών γωνιών

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιαν 06, 2016 7:49 pm**

coyote έγραψε:Το βρίσκεται στη διχοτόμο της άρα ισαπέχει από τις , και ομοίως:
Το βρίσκεται στη διχοτόμο της άρα ισαπέχει από τις , ( είναι η ημιευθεία )
Άρα το ισαπέχει από τις , και συνεπώς βρίσκεται στη διχοτόμο της $\angle AEB$

Ομοίως το ανήκει στην εξωτερική διχοτόμο της $\angle ABE$ άρα ισαπέχει από τις .
Το βρίσκεται στη διχοτόμο της άρα ισαπέχει από τις ,
Άρα τελικά το ισαπέχει από τις και συνεπώς ανήκει στη διχοτόμο της $\angle BEC$

Το ανήκει στο εσωτερικό του τμήματος , επομένως και η είναι στο εσωτερικό της γωνίας $\angle AEB$ . Δηλαδή όντως η είναι η εσωτερική διχοτόμος της $\angle AEB$ . Ομοίως βρίσκουμε και για την ότι είναι εσωτερική.
Τελικά $ZE\perp ED$ ως διχοτόμοι εφεξής παραπληρωματικών γωνιών

Απλά

Νίκος

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιαν 06, 2016 8:09 pm**

Χρόνια πολλά σε όλη την εξαίρετη γεωμετρική ομάδα !!!

Τα ίδια περίπου πράγματα σε μια πιο σύντομη διατύπωση :

Στο τρίγωνο EBC

η

είναι εσωτερική και η

είναι εξωτερική διχοτόμος, οπότε το σημείo

είναι παράκεντρο και

έτσι η

είναι εξωτερική δiχοτόμος , δηλαδή διχοτομεί τη γωνία $\angle BEA$ . Όμοια , η

διχοτομεί τη γωνία $\angle BEC$ .

Μπ

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιαν 06, 2016 10:08 pm**

Καλησπέρα και Χρόνια Πολλά!

Κλασική άσκηση!

Δείτε εδώ κι εδώ!

Φιλικά,

Αχιλλέας

mathematica.gr

ΤΡΕΙΣ ΔΙΧΟΤΟΜΟΙ

ΤΡΕΙΣ ΔΙΧΟΤΟΜΟΙ

Re: ΤΡΕΙΣ ΔΙΧΟΤΟΜΟΙ

Re: ΤΡΕΙΣ ΔΙΧΟΤΟΜΟΙ

Re: ΤΡΕΙΣ ΔΙΧΟΤΟΜΟΙ

Re: ΤΡΕΙΣ ΔΙΧΟΤΟΜΟΙ

Re: ΤΡΕΙΣ ΔΙΧΟΤΟΜΟΙ