mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Φεβ 27, 2016 1:26 pm**

Καλημέρα σας!

Επισυνάπτω και τα θέματα των μικρών!

Καλή επιτυχία και καλά αποτελέσματα σε όλους τους διαγωνιζόμενους!

Ευχαριστώ τον Αλέξανδρο Συγκελάκη για την αποστολή τους!

Αχιλλέας

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Φεβ 27, 2016 1:43 pm**

Μήπως ξέρετε που θα κυμανθεί η βάση στους μικρούς;

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Φεβ 27, 2016 2:09 pm**

Πρόβλημα 2

Αφαιρώντας κατά μέλη τις δοσμένες έχουμε $\displaystyle{{x^2} - {z^2} + y\left( {x - z} \right) = 0 \Rightarrow x + y + z = 0}$ αφού $\displaystyle{x \ne z}$ .
Άρα $\displaystyle{A = \frac{{{{\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3}} \right)}^3}}}{{{{\left( {xyz} \right)}^3}}} = {\left( {\frac{{3xyz}}{{xyz}}} \right)^3} = 27}$ από την ταυτότητα του Euler

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Φεβ 27, 2016 2:15 pm**

Πρόβλημα 4

Έστω $\displaystyle{H}$ το σημείο τομής των $\displaystyle{{\rm B}\Gamma ,\Delta {\rm Z}}$ .
Στο τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}\Delta {\rm Z}}$ είναι $\displaystyle{{\rm B}{\rm H} = \frac{{{\rm A}\Delta }}{2}}$ .
Επίσης $\displaystyle{{\rm B}{\rm M} = {\rm M}{\rm Z} - {\rm B}{\rm Z} = \frac{{{\rm E}{\rm Z} - {\rm A}{\rm Z}}}{2} = \frac{{{\rm E}{\rm A}}}{2}}$ .
Άρα τα τρίγωνα $\displaystyle{{\rm M}{\rm B}{\rm H},{\rm E}{\rm A}\Delta }$ είναι όμοια αφού έχουν δύο ζεύγη πλευρών ανάλογα και την περιεχόμενη γωνία ίση.
Άρα $\displaystyle{\widehat {{\rm B}{\rm M}{\rm H}} = \widehat {{\rm A}{\rm E}\Delta } \Rightarrow {\rm M}{\rm H}//{\rm E}\Gamma }$ .
Στο τρίγωνο $\displaystyle{{\rm M}\Gamma {\rm Z}}$ το Η είναι ορθόκεντρο. Άρα η $\displaystyle{{\rm M}{\rm H} \bot {\rm Z}\Gamma }$ .
Συνεπώς λόγω παραλληλίας και $\displaystyle{{\rm E}\Gamma \bot {\rm Z}\Gamma }$

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Φεβ 27, 2016 2:47 pm**

Πρόβλημα 3

: Αρχιμήδης μικρός σωστός.png (27.87 KiB) Προβλήθηκε 5296 φορές

... Συνεπώς B,S,D,E

ομοκυκλικά , όπως και τα Z,B,S,C

.

Είναι $\theta=\phi$ ( εξωτερική εγγεγραμμένου ) και $\theta=\eta$ ( βαίνουν στο ίδιο τόξο ) .

Άρα $\eta+\omega=\phi+\omega=90^0$

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Φεβ 27, 2016 3:15 pm**

Nick Math έγραψε:Μήπως ξέρετε που θα κυμανθεί η βάση στους μικρούς;

Ισως στα 2 θέματα;

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Φεβ 27, 2016 3:28 pm**

και εγώ καπού εκεί νομίζω. Πόσο βρήκατε στο 4ο προβλημα?

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Φεβ 27, 2016 3:37 pm**

Μέχρι να διορθωθούν όλα τα γραπτά δεν μπορούμε να ξέρουμε τις βάσεις.

Η απάντηση στο τέταρτο είναι 365

.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Φεβ 27, 2016 3:43 pm**

Μήπως να μπορούσατε να μου πείτε πως προέκυψε αυτό;

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Φεβ 27, 2016 3:48 pm**

Εγώ προσωπικά βρίσκω τα περσινά θέματα πολύ πιο εύκολα. Με ενάμισι θέματα γίνεται κάποιος να περάσει στην επόμενη φάση;

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Φεβ 27, 2016 3:48 pm**

Δίνω υπόδειξη για μια απόδειξη:

Για κάθε $k \in \{0,1,2,\ldots,6\}$ βρες πόσες εξάδες πληρούν τις συνθήκες και έχουν ακριβώς

άσσους.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Φεβ 27, 2016 3:54 pm**

Εννοείτε τις συνθήκες της εκφώνησης;

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Φεβ 27, 2016 3:57 pm**

Nick Math έγραψε:Εννοείτε τις συνθήκες της εκφώνησης;

Ναι.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Φεβ 27, 2016 3:58 pm**

και άσσους φαντάζομαι εννοείτε 1αρια

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Φεβ 27, 2016 4:04 pm**

Για κ=0, όλες οι εξάδες αριθμών έχουν άθροισμα άρτιο
Μπορείτε να γίνετε πιο σαφης είμαι μαθητής β γυμνασίου.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Φεβ 27, 2016 4:05 pm**

Nick Math έγραψε:Μήπως να μπορούσατε να μου πείτε πως προέκυψε αυτό;

Αφού το άθροισμα είναι άρτιο, σημαίνει ότι υπάρχουν άρτιο πλήθος άσσοι.

Αν δεν υπάρχει κανένας άσσος, υπάρχουν περιπτώσεις (δύο τιμές, 0 ή 2 για έξι θέσεις).
Για δύο άσσους, που μπορούν να τοποθετηθούν με 15 τρόπους, υπάρχουν περιπτώσεις για τους υπόλοιπους αριθμούς.
Τέσσερις άσσοι τοποθετούνται πάλι με 15 τρόπους, και για κάθε έναν, υπάρχουν περιπτώσεις.
Τέλος, μία ακόμα περίπτωση όταν όλοι οι αριθμοί είναι ίσοι με 1.

Συνολικά είναι $2^6 + 15\cdot2^4 + 15\cdot2^2 + 1 = 365$ διατεταγμένες εξάδες.
Αυτή είναι η δικιά μου λύση. Μπορεί κάποιος να μου πει αν είναι σωστή;

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Φεβ 27, 2016 4:06 pm**

Δεν έχω επίγνωση της ύλης της γ λυκείου.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Φεβ 27, 2016 4:09 pm**

στο 1ο πρόβλημα πόσους n αριθμούς βρήκες;

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Φεβ 27, 2016 4:45 pm**

Νομίζω είναι όλοι οι πρώτοι φυσικοι αριθμοί.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Φεβ 27, 2016 4:47 pm**

Παναγιώτης Χ. έγραψε:
Nick Math έγραψε:Μήπως να μπορούσατε να μου πείτε πως προέκυψε αυτό;
Αφού το άθροισμα είναι άρτιο, σημαίνει ότι υπάρχουν άρτιο πλήθος άσσοι.
Αν δεν υπάρχει κανένας άσσος, υπάρχουν περιπτώσεις (δύο τιμές, 0 ή 2 για έξι θέσεις).

Για δύο άσσους, που μπορούν να τοποθετηθούν με 15 τρόπους, υπάρχουν περιπτώσεις για τους υπόλοιπους αριθμούς.

Τέσσερις άσσοι τοποθετούνται πάλι με 15 τρόπους, και για κάθε έναν, υπάρχουν περιπτώσεις.

Τέλος, μία ακόμα περίπτωση όταν όλοι οι αριθμοί είναι ίσοι με 1.
Συνολικά είναι $2^6 + 15\cdot2^4 + 15\cdot2^2 + 1 = 365$ διατεταγμένες εξάδες.
Αυτή είναι η δικιά μου λύση. Μπορεί κάποιος να μου πει αν είναι σωστή;

Θεωρώ ότι είναι απόλυτα σωστή.

Επίσης θα ήθελα την γνώμη και άλλων για το αν φέτος ηταν πιό δύσκολα η εύκολα από πέρυσι

mathematica.gr

ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2016-ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΚΡΩΝ

ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2016-ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΚΡΩΝ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2016-ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΚΡΩΝ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2016-ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΚΡΩΝ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2016-ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΚΡΩΝ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2016-ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΚΡΩΝ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2016-ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΚΡΩΝ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2016-ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΚΡΩΝ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2016-ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΚΡΩΝ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2016-ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΚΡΩΝ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2016-ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΚΡΩΝ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2016-ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΚΡΩΝ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2016-ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΚΡΩΝ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2016-ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΚΡΩΝ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2016-ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΚΡΩΝ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2016-ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΚΡΩΝ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2016-ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΚΡΩΝ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2016-ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΚΡΩΝ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2016-ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΚΡΩΝ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2016-ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΚΡΩΝ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2016-ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΚΡΩΝ