mathematica.gr

Να εξεταστεί εάν υπάρχει ένα σύνολο με άπειρους θετικούς ακεραίους, ώστε για κάθε διακεκριμένα που ανήκουν σε αυτό ο αριθμός να είναι τέλειο τετράγωνο.

panagiotis99 έγραψε:Να εξεταστεί εάν υπάρχει ένα σύνολο με άπειρους θετικούς ακεραίους, ώστε για κάθε διακεκριμένα που ανήκουν σε αυτό ο αριθμός να είναι τέλειο τετράγωνο.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Nα μην χρησιμοποιοηθούν βαριά θεωρήματα

Καλησπέρα Παναγιώτη. Είναι δικη σου κατασκευή σωστά ;

Kαλησπέρα το πρόβλημα δεν είναι δικό μου, είναι απο διεθνή διαγωνισμό

Ωραία.
Μήπως λέει εξ'αρχης οτι το σύνολο περιλαμβάνει μόνο διακεκριμένα στοιχεία;

Can an infinite set of natural numbers be found, such that for all triplets of it we have perfect square?

Αυτή είναι η αρχική εκφώνηση του προβλήματος πρόσθεσα ότι είναι διακεκριμένοι γιατί αλλιώς γίνεται πολύ απλό.Από ότι καταλαβαίνω εννοεί αυτό που λέτε ότι όλα τα στοιχεία είναι διαφορετικά στο σύνολο.

Αν υπάρχει απειροσύνολο με μόνο διακεκριμένα στοιχεία και έχει την συνθήκη που είπες τότε τα στοιχεία πρέπει να είναι άρτιοι. Δεν έχω αποδείξει ακόμα ότι δεν υπάρχει τέτοιο απειροσύνολο.

Το θυμάμαι αυτό το πρόβλημα. Είναι από κάποιο διαγωνισμό του Ιράν αλλά έψαξα λίγο σε κάτι αρχεία και δεν μπόρεσα να το βρω. Θα βάλω τη λύση που θυμάμαι από τότε αλλά ουσιαστικά εμπεριέχει θεώρημα οπότε δεν ξέρω αν υπάρχει κάτι πιο απλό.



Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει τέτοιο σύνολο και ας πάρουμε 3 σταθερά στοιχεία του . Τότε θα ισχύει για κάθε μεταβλητό που είναι στοιχείο του παραπάνω συνόλου και είναι διαφορετικό των . Επομένως η εξίσωση έχει άπειρες ακέραιες λύσεις κάτι που δεν μπορεί να ισχύει για ελλειπτικές καμπύλες.

Επαναφορά!

Νομίζω ότι το πρόβλημα μας δίνει απλόχερα αρκετά δεδομένα και λογικό είναι με μόνο από αυτά να θέλει βαρύ θεώρημα...