mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μαρ 09, 2016 8:48 pm**

Πρόβλημα 1

(α) Να βρείτε την τιμή του $\displaystyle{x}$ , για την οποία ισχύει η σχέση: $\displaystyle{\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{5}+\dfrac{23}{30}+2x=30}$

(β) Ο Ανδρέας τελειώνει μία εργασία σε $\displaystyle{10}$ μέρες και ο Βασίλης για να τελειώσει την ίδια εργασία χρειάζεται $\displaystyle{15}$ μέρες. Ο Ανδρέας εργάζεται μόνος του για $\displaystyle{4}$ μέρες και μετά αποχωρεί. Πόσες μέρες θα χρειαστεί ο Βασίλης για να τελειώσει το υπόλοιπο μέρος της εργασίας αυτής;

Πρόβλημα 2

(α) Πόσοι τριψήφιοι αριθμοί τελειώνουν σε $\displaystyle{1, 2}$ ή $\displaystyle{4}$ , αν δεν επιτρέπεται η επανάληψη ψηφίου;

(β) Σε τρίγωνο $\displaystyle{\vartriangle{ABC}}$ , το σημείο $\displaystyle{X}$ βρίσκεται στη $\displaystyle{BC}$ έτσι, ώστε $\displaystyle{\left(CX\right)=2\left(BX\right)}$ και το σημείο $\displaystyle{Y}$ βρίσκεται στη $\displaystyle{AB}$ έτσι, ώστε $\displaystyle{\left(AY\right)=3\left(BY\right)}$ . Αν το τρίγωνο $\displaystyle{\vartriangle{ABC}}$ έχει εμβαδόν $\displaystyle{144\;cm^2}$ , να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου $\displaystyle{\vartriangle{BXY}}$ .

Πρόβλημα 3

Ένα δέντρο φυτεύτηκε την $\displaystyle{01/01/2000}$ και είχε ύψος $\displaystyle{50\;cm}$ . Την πρώτη χρονιά μεγάλωσε κατά το $\displaystyle{\dfrac{1}{2}}$ του ύψους που είχε την $\displaystyle{01/01/2000}$ , τη δεύτερη χρονιά μεγάλωσε κατά το $\displaystyle{\dfrac{1}{3}}$ του ύψους που είχε την $\displaystyle{01/01/2001}$ , την τρίτη χρονιά μεγάλωσε κατά το $\displaystyle{\dfrac{1}{4}}$ του ύψους που είχε την $\displaystyle{01/01/2002}$ , την τέταρτη χρονιά μεγάλωσε κατά το $\displaystyle{\dfrac{1}{5}}$ του ύψους που είχε την $\displaystyle{01/01/2003}$ και συνέχισε να μεγαλώνει με το ίδιο μοτίβο. Να βρείτε:

(α) το ύψος του δέντρου την $\displaystyle{01/01/2016}$

(β) τη χρονιά που κατά την $\displaystyle{1^{\eta}}$ Ιανουαρίου το ύψος του δέντρου θα είναι $\displaystyle{5\;m}$

Πρόβλημα 4

Ο Ανδρέας περπατά $\displaystyle{60\;m}$ ανά λεπτό και θέλει να περπατήσει από το σπίτι του μέχρι την είσοδο του Δημαρχείου της πόλης του. Όμως επειδή ήθελε να φτάσει $\displaystyle{15}$ λεπτά πιο γρήγορα, αύξησε την ταχύτητά του σε $\displaystyle{80\;m}$ ανά λεπτό. Να βρείτε την απόσταση από το σπίτι του Ανδρέα μέχρι την είσοδο του Δημαρχείου.

Πρόβλημα 5

Στο πιο κάτω σχήμα, δίνεται ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ . Τα εμβαδά των τριγώνων $\displaystyle{\vartriangle{B\Gamma E}}$ και $\displaystyle{\vartriangle{\Gamma\Delta Z}}$ είναι $\displaystyle{12\;cm^2}$ και $\displaystyle{9\;cm^2}$ , αντίστοιχα. Αν γνωρίζουμε επιπλέον ότι το εμβαδόν του ορθογωνίου $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ είναι $\displaystyle{72\;cm^2}$ , να υπολογίσετε το εμβαδόν του σκιασμένου τριγώνου $\displaystyle{\vartriangle{E\Gamma Z}}$ .

: P.5.PNG (69.19 KiB) Προβλήθηκε 2077 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μαρ 09, 2016 9:23 pm**

Soteris έγραψε: Πρόβλημα 5

Στο πιο κάτω σχήμα, δίνεται ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ . Τα εμβαδά των τριγώνων $\displaystyle{\vartriangle{B\Gamma E}}$ και $\displaystyle{\vartriangle{\Gamma\Delta Z}}$ είναι $\displaystyle{12\;cm^2}$ και $\displaystyle{9\;cm^2}$ , αντίστοιχα. Αν γνωρίζουμε επιπλέον ότι το εμβαδόν του ορθογωνίου $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ είναι $\displaystyle{72\;cm^2}$ , να υπολογίσετε το εμβαδόν του σκιασμένου τριγώνου $\displaystyle{\vartriangle{E\Gamma Z}}$ .

: Α Παγκύπριος 2016 stage II.png (9.89 KiB) Προβλήθηκε 2066 φορές

Με τους συμβολισμούς του σχήματος είναι: $\displaystyle{ab = 72,ax = 18,by = 24 \Rightarrow abxy = 18 \cdot 24 \Rightarrow xy = 6}$

$\displaystyle{(AZE) = \frac{1}{2}(a - y)(b - x) = \frac{{ab - ax - by + xy}}{2} = \frac{{72 - 18 - 24 + 6}}{2} \Leftrightarrow (AZE) = 18}$

Άρα: $\displaystyle{({\rm E}{\rm Z}\Gamma ) = 72 - 18 - 9 - 12 \Leftrightarrow }$ $\boxed{(EZ\Gamma)=33}$

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μαρ 09, 2016 9:49 pm**

Soteris έγραψε: Πρόβλημα 4

Ο Ανδρέας περπατά $\displaystyle{60\;m}$ ανά λεπτό και θέλει να περπατήσει από το σπίτι του μέχρι την είσοδο του Δημαρχείου της πόλης του. Όμως επειδή ήθελε να φτάσει $\displaystyle{15}$ λεπτά πιο γρήγορα, αύξησε την ταχύτητά του σε $\displaystyle{80\;m}$ ανά λεπτό. Να βρείτε την απόσταση από το σπίτι του Ανδρέα μέχρι την είσοδο του Δημαρχείου.

Έστω $A\ m$ η ζητούμενη απόσταση.
Με ταχύτητα 60/ min

χρειάζεται χρόνος $t_{60}=\dfrac{A}{60}min$
και με ταχύτητα 80/ min

χρειάζεται χρόνος $t_{80}=\dfrac{A}{80}min$ .
Άρα $\dfrac{A}{80}+15=\dfrac{A}{60}\Rightarrow A=3600\ m$

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Μαρ 10, 2016 1:03 am**

Soteris έγραψε:Πρόβλημα 1

(α) Να βρείτε την τιμή του $\displaystyle{x}$ , για την οποία ισχύει η σχέση: $\displaystyle{\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{5}+\dfrac{23}{30}+2x=30}$

(β) Ο Ανδρέας τελειώνει μία εργασία σε $\displaystyle{10}$ μέρες και ο Βασίλης για να τελειώσει την ίδια εργασία χρειάζεται $\displaystyle{15}$ μέρες. Ο Ανδρέας εργάζεται μόνος του για $\displaystyle{4}$ μέρες και μετά αποχωρεί. Πόσες μέρες θα χρειαστεί ο Βασίλης για να τελειώσει το υπόλοιπο μέρος της εργασίας αυτής;

α) $\displaystyle{\frac{1}{3} + \frac{2}{5} + \frac{{23}}{{30}} + 2x = 30 \Leftrightarrow \frac{{10}}{{30}} + \frac{{12}}{{30}} + \frac{{23}}{{30}} + 2x = 30 \Leftrightarrow 2x + \frac{{45}}{{30}} = 30 \Leftrightarrow 2x + \frac{3}{2} = \frac{{60}}{2} \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{2x = \frac{{57}}{2} \Leftrightarrow }$ $\boxed{x = \frac{{57}}{4}}$

β) Ο Ανδρέας σε μία μέρα τελειώνει το $\displaystyle{\frac{1}{{10}}}$ της εργασίας, άρα σε

μέρες τα $\displaystyle{\frac{4}{{10}} = \frac{2}{5}}$ της εργασίας. Όταν ο Ανδρέας αποχωρεί, απομένουν τα $\displaystyle{\frac{3}{5} = \frac{9}{{15}}}$ της εργασίας και αφού ο Βασίλης τελειώνει σε μία μέρα το $\displaystyle{\frac{1}{{15}}}$ της εργασίας, θα χρειαστεί

μέρες για να ολοκληρώσει την εργασία αυτή.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Μαρ 10, 2016 2:29 pm**

Πρόβλημα 3

α) Το δέντρο την 1/1/2001 έχει ύψος $\displaystyle{ 0,50\cdot (1+\frac{1}{2})=0,50\cdot \frac{3}{2}}$ μέτρα,
την 1/1/2002 έχει ύψος $\displaystyle{ 0,50\cdot \frac{3}{2} \cdot (1+\frac{1}{3})=0,50\cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{4}{3}=0,50\cdot \frac{4}{2}}$ μέτρα,
την 1/1/2003 έχει ύψος $\displaystyle{ 0,50\cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{4}=0,50\cdot \frac{5}{2}}$ μέτρα κ.ο.κ.
Δηλαδή την 1/1 του n έτους μετά το 2000 θα έχει ύψος $\displaystyle{ 0,50\cdot \frac{{n+2}}{2}}$ μέτρα.
Οπότε την 1/1/2016 έχει ύψος $\displaystyle{ 0,50\cdot \frac{{16+2}}{2}=0,50\cdot \frac{{18}}{2}=4,5}$ μέτρα. (έκανα την διόρθωση).
β) Πρέπει $\displaystyle{ 0,50\cdot \frac{{n+2}}{2}=5}$ , άρα $\displaystyle{n=18}$ , δηλαδή την 1/1/2018 θα έχει ύψος 5 μέτρα.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Μαρ 10, 2016 9:16 pm**

Για το Πρόβλημα 3
Την 1/1/2016 το δένδρο θα έχει ύψος 4,50 μέτρα και όχι 9 μέτρα που εκ παραδρομής εγράφη.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Μαρ 11, 2016 7:50 pm**

Carlo de Grandi έγραψε:Για το Πρόβλημα 3
Την 1/1/2016 το δένδρο θα έχει ύψος 4,50 μέτρα και όχι 9 μέτρα που εκ παραδρομής εγράφη.

Ευχαριστώ για την παρατήρηση!

Με διορθωμένο το αποτέλεσμα στο (α) ερώτημα, η λύση του Προβλήματος 3:

α) Το δέντρο την 1/1/2001 έχει ύψος $\displaystyle{ 0,50\cdot (1+\frac{1}{2})=0,50\cdot \frac{3}{2}}$ μέτρα,
την 1/1/2002 έχει ύψος $\displaystyle{ 0,50\cdot \frac{3}{2} \cdot (1+\frac{1}{3})=0,50\cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{4}{3}=0,50\cdot \frac{4}{2}}$ μέτρα,
την 1/1/2003 έχει ύψος $\displaystyle{ 0,50\cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{4}=0,50\cdot \frac{5}{2}}$ μέτρα κ.ο.κ.
Δηλαδή την 1/1 του n έτους μετά το 2000 θα έχει ύψος $\displaystyle{ 0,50\cdot \frac{{n+2}}{2}}$ μέτρα.
Οπότε την 1/1/2016 έχει ύψος $\displaystyle{ 0,50\cdot \frac{{16+2}}{2}=0,50\cdot \frac{{18}}{2}=\mathbf{4,5}}$ μέτρα.
β) Πρέπει $\displaystyle{ 0,50\cdot \frac{{n+2}}{2}=5}$ , άρα $\displaystyle{n=18}$ , δηλαδή την 1/1/2018 θα έχει ύψος 5 μέτρα.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μαρ 12, 2016 10:20 am**

Καλημέρα σας!!
Μπορεί να δώσει κάποιος τη λύση για το πρόβλημα Νο.(2α) Και μια επεξήγηση για το πως λύνονται αυτού του είδους τα προβλήματα;
Πιθανόν να υπάρχει κάποιος γενικός τύπος που λύνονται.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μαρ 12, 2016 11:35 am**

Carlo de Grandi έγραψε:Καλημέρα σας!!
Μπορεί να δώσει κάποιος τη λύση για το πρόβλημα Νο.(2α) Και μια επεξήγηση για το πως λύνονται αυτού του είδους τα προβλήματα;
Πιθανόν να υπάρχει κάποιος γενικός τύπος που λύνονται.

Πρόβλημα 2

(α) Πόσοι τριψήφιοι αριθμοί τελειώνουν σε $\displaystyle{1, 2}$ ή $\displaystyle{4}$ , αν δεν επιτρέπεται η επανάληψη ψηφίου;

Καλημέρα Κάρλο και καλώς ήλθες στο

Οι αριθμοί θα είναι της μορφής $\overline{ab1}, \overline{ab2}$ και $\overline{ab4}$ , όπου

όλα τα ψηφία πλήν μηδενός και του λήγοντα, άρα

ψηφία και

όλα τα ψηφία πλην πρώτου και λήγοντα, άρα

ψηφία, οπότε για τον καθένα από τους τρείς έχουμε $8\cdot8=64$ τριψήφιους αριθμούς και άρα συνολικά $3\cdot64=192$ τριψήφιους αριθμούς.

Φιλικά, Ευθύμης Αλεξίου

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μαρ 12, 2016 12:34 pm**

Καλημέρα Ευθύμη
Λοιπόν, για το συγκεκριμένο πρόβλημα δεν σκέφθηκα αυτή την απλή λύση και προσπαθούσα να βρώ κάποιον τύπο. Σ' ευχαριστώ.
Φιλικά,
Carlo de Grandi

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μαρ 12, 2016 12:59 pm**

Soteris έγραψε: Πρόβλημα 2
(β) Σε τρίγωνο $\displaystyle{\vartriangle{ABC}}$ , το σημείο $\displaystyle{X}$ βρίσκεται στη $\displaystyle{BC}$ έτσι, ώστε $\displaystyle{\left(CX\right)=2\left(BX\right)}$ και το σημείο $\displaystyle{Y}$ βρίσκεται στη $\displaystyle{AB}$ έτσι, ώστε $\displaystyle{\left(AY\right)=3\left(BY\right)}$ . Αν το τρίγωνο $\displaystyle{\vartriangle{ABC}}$ έχει εμβαδόν $\displaystyle{144\;cm^2}$ , να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου $\displaystyle{\vartriangle{BXY}}$ .

: PCyprus 2b.II.png (12.27 KiB) Προβλήθηκε 1760 φορές

$\displaystyle{\frac{{(BXY)}}{{(ABC)}} = \frac{{km}}{{4k \cdot 3m}} = \frac{1}{{12}} \Leftrightarrow }$ $\boxed{(BXY)=12 cm^2}$ (δεν γνωρίζω όμως την ύλη που κάνουν στην Κύπρο σε αυτό το επίπεδο).

mathematica.gr

Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Key Stage II, 2016

Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Key Stage II, 2016

Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Key Stage II, 201

Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Key Stage II, 201

Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Key Stage II, 201

Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Key Stage II, 201

Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Key Stage II, 201

Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Key Stage II, 201

Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Key Stage II, 201

Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Key Stage II, 201

Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Key Stage II, 201

Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Key Stage II, 201