Μετασχηματισμός Laplace
Δημοσιεύτηκε: Σάβ Μαρ 12, 2016 3:32 am
Να υπολογιστεί ο μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης 
, δηλ. το ολοκλήρωμα:
Έχω μία επίλυση χρησιμοποιώντας "κέντρα" συναρτήσεων.
, δηλ. το ολοκλήρωμα:Έχω μία επίλυση χρησιμοποιώντας "κέντρα" συναρτήσεων.
![\displaystyle{\begin{aligned}&\int_0^{\infty} e^{-ax}\left(\frac{1}{x}-\coth x\right)\,dx \\&= \left[e^{-ax}\left(\log (2x) - x -\log (1-e^{-2x})\right)\right]_0^{\infty} + a\int_0^{\infty} e^{-ax}\left(\log (2x) - x -\log (1-e^{-2x})\right)\,dx\\&= a\int_0^{\infty} e^{-ax}\log (2x)\,dx - a\int_0^{\infty}xe^{-ax}\,dx + a\sum\limits_{n=1}^{\infty}\int_0^{\infty} \frac{e^{-(a+2n)x}}{n}\,dx\\&= -\gamma -\log \left(\frac{a}{2}\right) -\frac{1}{a}+\frac{a}{2}\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n\left(n+\frac{a}{2}\right)}\\&= \psi\left(1+\frac{a}{2}\right)-\frac{1}{a} - \log \left(\frac{a}{2}\right)\end{aligned}}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/8dbfc13801979a7245207269e61f8ef1.png "\displaystyle{\begin{aligned}&\int_0^{\infty} e^{-ax}\left(\frac{1}{x}-\coth x\right)\,dx \\&= \left[e^{-ax}\left(\log (2x) - x -\log (1-e^{-2x})\right)\right]_0^{\infty} + a\int_0^{\infty} e^{-ax}\left(\log (2x) - x -\log (1-e^{-2x})\right)\,dx\\&= a\int_0^{\infty} e^{-ax}\log (2x)\,dx - a\int_0^{\infty}xe^{-ax}\,dx + a\sum\limits_{n=1}^{\infty}\int_0^{\infty} \frac{e^{-(a+2n)x}}{n}\,dx\\&= -\gamma -\log \left(\frac{a}{2}\right) -\frac{1}{a}+\frac{a}{2}\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n\left(n+\frac{a}{2}\right)}\\&= \psi\left(1+\frac{a}{2}\right)-\frac{1}{a} - \log \left(\frac{a}{2}\right)\end{aligned}}")