mathematica.gr • Εύρεση συνάρτησης

Σελίδα 1 από 1

Εύρεση συνάρτησης

Δημοσιεύτηκε: Παρ Φεβ 05, 2010 12:03 am

από mathxl

Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f: [0;+\infty)\rightarrow [0;+\infty)$ , οι οποίες ικανοποιούν τις παρακάτω συνθήκες
$f(f(x))=2009\cdot 2010x-f(x)$
f(x)>0

f(x)>0

,

x>0

Re: Εύρεση συνάρτησης

Δημοσιεύτηκε: Παρ Φεβ 05, 2010 12:47 am

από lefteris mastoris

Χωρις να ειμαι απολυτα σιγουρος επειδη ειμαι πολυ κουρασμενος,νομιζω οτι ο μετασχηματισμος a_n=f^n(x)

a_n=f^n(x)

(συνθεση συναρτησης) οπου f^n(x)=f^n^-^1(f(x))

f^n(x)=f^n^-^1(f(x))

kai

a_n_+_2=2010*2009a_n- a_n+_1

βοηθαει πολυ..ΛΕΥΤΕΡΗΣ

Re: Εύρεση συνάρτησης

Δημοσιεύτηκε: Δευ Φεβ 08, 2010 9:34 pm

από lefteris mastoris

Επειδη τωρα τελευταια εχουν γινει πολλα παραπονα για διαφορα posts που θεωρουνται :spam:

ας βαλω την λυση μου για να μην δημιουργησω καποια τετοια εικονα στο forum μας.

Λοιπον..

a_n_+_2+a_n_+_1-2010*2009a_n=0

με χαρακτηριστικη εξισωση την l^2+l-2009*2010=0

l^2+l-2009*2010=0

που εχει ριζες τα l=2009

l=2009

,

l=-2010

.Ara einai a_n=k_12009^n+k_2(-2010)^n

a_n=k_12009^n+k_2(-2010)^n

με τα κ1,κ2 να προσδιοριζονται απο το συστημα k_1+k_2=a_0=x

k_1+k_2=a_0=x

με x καποιο τυχαιο θετικο, και 2009k_1-2010k_2=a_2=f(x)

2009k_1-2010k_2=a_2=f(x)

απο οπου προκυπτει $a_n=(\frac{f(x)+2010x}{4019})2009^n +(\frac{2009x-f(x)}{4019})(-2010)^n$ .AN 2009x-f(x)>0

2009x-f(x)>0

μπορουμε να επιλεξουμε εναν πολυ μεγαλο περιττο n με αποτελεσμα να βγει a_n<0

a_n<0

κατι που ειναι προφανως ατοπο απο την υποθεση.Αν 2009x-f(x)<0

2009x-f(x)<0

μπορουμε να διαλεξουμε εναν πολυ μεγαλο αρτιο n ωστε να ειναι παλι a_n<0

a_n<0

, atopo.Επομενως η μονη συναρτηση ειναι η f(x)=2009x

f(x)=2009x

.

ΛΕΥΤΕΡΗΣ