mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Απρ 03, 2016 2:03 pm**

Δίνονται οι συνεχείς στο

συναρτήσεις

και

, για τις οποίες γνωρίζετε ότι:
$\displaystyle{\begin{cases} f(x)=x+\int_{0}^{x}{e^tf^2(t)dt}\\ \\ 2g(x)=x^2f(x)-\int_{0}^{x}{t^2f'(t)dt}+4032x\\ x \in R\\ \end{cases}}$

Δ1. Να δειχθεί ότι η

είναι γνησίως αύξουσα.

Δ2. Να δειχθεί ότι g'(x)=xf(x)+2016

Δ3. Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων των C_f

και

στο

.

Δ4. Να δειχθεί ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε τα σημεία τομής των $\displaystyle{C_f,C_{f^{-1}}}$

To Δ5 αποσύρεται...

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιούλ 06, 2016 12:57 pm**

Δ1. Η

είναι παραγωγίσιμη καθώς το δεύτερο μέλος της πρώτης σχέσης είναι μια παραγωγίσιμη συνάρτηση.
Παραγωγίζοντας αμφότερα τα μέλη της πρώτης σχέσης λαμβάνουμε f'(x)=1+e^xf^2(x)>0

για κάθε $x\in R$ . Άρα η

είναι γνησίως αύξουσα.

Δ2. Διαιρώντας με το

τη δεύτερη σχέση και παραγωγίζοντας προκύπτει εύκολα το ζητούμενο

Δ3. Έχουμε f(0)=0 , g(0)=0

και

Άρα οι εξισώσεις εφαπτομένως των Cg , Cf

αντίστοιχα είναι y=0

και

.

Δ4.Τα κοινά σημεία της

και της $Cf^{-1}$ βρίσκονται πάνω στην y=x

αφού η

είναι γνησίως αύξουσα άρα και 1-1 οπότε αντιστρέφεται
Αρκεί λοιπόν να λύσουμε την $f(x)=x \Longleftrightarrow\int_{0}^{x}e^tf^2(t)dt=0$ . Θεωρώ την συνάρτηση $h(x)=\int_{0}^{x}e^tf^2(t)dt$ , h'(x)>=0

. Άρα h γνησίως αύξουσα και 1-1 οπότε έχει μοναδική ρίζα την προφανή x=0

Άρα το κοινό σημείο είναι το A(0,0)

mathematica.gr

Δροσιστικό

Δροσιστικό

Re: Δροσιστικό