mathematica.gr

Έστω κύκλος κέντρου και μία χορδή του.

Θεωρούμε:

1) όλα τα δυνατά ζεύγη κύκλων που εφάπτονται εσωτερικά του κυκλικού τομέα που ορίζει η και μεταξύ τους.
2) όλα τα δυνατά ζεύγη κύκλων που εφάπτονται εσωτερικά του κυκλικού τομέα που ορίζει η και τέμνονται μεταξύ τους.

τότε:

1) να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων επαφής όλων των δυνατών ζευγών εφαπτόμενων κύκλων.
2) να δείξετε ότι η ευθεία που ορίζουν τα σημεία τομής όλων των ζευγών τεμνόμενων κύκλων διέρχονται από το μέσο του τόξου .

Al.Koutsouridis έγραψε:Έστω κύκλος κέντρου και μία χορδή του.

Θεωρούμε:

1) όλα τα δυνατά ζεύγη κύκλων που εφάπτονται εσωτερικά του κυκλικού τομέα που ορίζει η και μεταξύ τους.
2) όλα τα δυνατά ζεύγη κύκλων που εφάπτονται εσωτερικά του κυκλικού τομέα που ορίζει η και τέμνονται μεταξύ τους.

τότε:

1) να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων επαφής όλων των δυνατών ζευγών εφαπτόμενων κύκλων.
2) να δείξετε ότι η ευθεία που ορίζουν τα σημεία τομής όλων των ζευγών τεμνόμενων κύκλων διέρχονται από το μέσο του τόξου .


zeugh_kuklwn.png

Αντιστρέφουμε με κέντρο το και ακτίνα .

Η ευθεία αντιστρέφεται στον κύκλο , και ο κύκλος αντιστρέφεται στην ευθεία .

Από αυτό συμπεραίνουμε ότι όλοι οι κύκλοι που εφάπτονται στην ευθεία και στον κύκλο αντιστρέφονται στον εαυτό τους. Επομένως

α) το ένα σημείο τομής τους (αν έχουν σημεία τομής) αντιστρέφεται στο άλλο σημείο τομής τους, και,
β) το τυχόν σημείο επαφής τους αντιστρέφεται στον εαυτό του.

Από το β) ο γεωμετρικός τόπος των σημείων επαφής όλων των δυνατών ζευγών εφαπτόμενων κύκλων είναι το κυρτό τόξο (κυρτό, ως προς το σχήμα μας) του κύκλου αντιστροφής

Από το α) η ευθεία που ορίζουν τα σημεία τομής όλων των ζευγών τεμνόμενων κύκλων διέρχονται από το κέντρο αντιστροφής που είναι το μέσο του τόξου (μη κυρτό, ως προς το σχήμα μας) .