mathematica.gr

Σε τραπέζιο εμβαδού βρείτε το ελάχιστο μήκος της μεγαλύτερης από τις δύο διαγώνιες του.

sakis1963 έγραψε:Σε τραπέζιο εμβαδού βρείτε το ελάχιστο μήκος της μεγαλύτερης από τις δύο διαγώνιες του.

Το τροποποιώ λίγο:

, όπου δεδομένο μήκος

Στο τραπέζιο του σχήματος φέρουμε παράλληλη από το στην , η οποία τέμνει την ευθεία στο .
Οι δύο από τις πλευρές του τριγώνου είναι ίσες μία προς μία με τις διαγωνίους του και η τρίτη πλευρά είναι ίση με το άθροισμα των βάσεων.
Επίσης, το τρίγωνο είναι ισοεμβαδικό με το τραπέζιο.
Θέλουμε να βρούμε το ελάχιστο μήκος της μεγαλύτερης από τις , έτσι ώστε
Αν είναι , τότε το ύψος του είναι
Το σημείο λοιπόν βρίσκεται σε ευθεία που είναι παράλληλη με την και απέχει με αυτήν απόσταση ίση με υ. Απ όλα τα σημεία της ευθείας αυτής, εκείνο που ελαχιστοποιεί το μήκος της μεγαλύτερης από τις είναι, όπως φαίνεται στο 2ο σχήμα, εκείνο που βρίσκεται στη μεσοκάθετο του .
Τότε εύκολα από το ορθογώνιο τρίγωνο βρίσκουμε:

Τώρα θέλουμε να ελαχιστοποιήσουμε τη συνάρτηση για

Είναι . Η παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο για . Το ελάχιστο είναι
Βρήκαμε λοιπόν ότι το ελάχιστο μήκος (καθώς το μήκος της βάσης μεταβάλλεται) συμβαίνει όταν και είναι ίσο με .
Στο πρόβλημά μας (για ) το ελάχιστο είναι ίσο με

Χαιρετώ,

Το τροποποιώ λίγο:

, όπου δεδομένο μήκος

Το εμβαδόν επιλέχτηκε για να μην χρειάζεται η χρήση παραγώγων.
Για έχουμε, όπως σωστά γράφει ο coyote, από την ανισότητα του αθροίσματος θετικών αντιστρόφων .