mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 04, 2016 2:30 pm**

Θεωρούμε την πράξη

$\displaystyle{\ominus :\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\to \mathbb{Z},}$

$\displaystyle{a\ominus b=\frac{a-b}{\gcd (a,b) }.}$

Να αποδείξετε ότι ακέραιος $\displaystyle{n>1}$ είναι δύναμη πρώτου αν και μόνο αν για όλους τους θετικούς ακέραιους $\displaystyle{m}$ με $\displaystyle{m<n}$ ισχύει

$\displaystyle{\gcd (n, n\ominus m)=1.}$

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 04, 2016 3:36 pm**

matha έγραψε:Θεωρούμε την πράξη

$\displaystyle{\ominus :\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\to \mathbb{Z},}$

$\displaystyle{a\ominus b=\frac{a-b}{\gcd (a,b) }.}$

Να αποδείξετε ότι ακέραιος $\displaystyle{n>1}$ είναι δύναμη πρώτου αν και μόνο αν για όλους τους θετικούς ακέραιους $\displaystyle{m}$ με $\displaystyle{m<n}$ ισχύει

$\displaystyle{\gcd (n, n\ominus m)=1.}$

Καλησπέρα! Όμορφη άσκηση!

Αρχικά θα δείξω ότι αν ισχύει η συνθήκη, τότε ο

είναι δύναμη πρώτου.

Πράγματι, έστω n = p^as

με

,

πρώτος που διαιρεί το

.

Επιλέγω $m = p^{a-1}s(p-s)$ . Είναι τότε $\gcd(n, m) = p^{a-1}s$ αφού και (p, p-s)=1

.

Άρα $\gcd (p^as, p^as \ominus p^{a-1}s(p-s)) = \gcd (p^as, s) = s \gcd (p^a, 1) = s$ και άρα s=1

.

Άρα, ο

είναι δύναμη πρώτου.

Έστω τώρα n = p^a

και έστω

τέτοιος ώστε $\gcd(n, n \ominus m) > 1$ . Τότε $\gcd(n, n\ominus m) \mid n \implies \gcd(n, n \ominus m) = p^k, k \geq 1$ .

Tότε $p \mid n \ominus m$ . Έστω $\gcd (n, m) = p^r, 0 \leq r \leq a$ .

Τότε n = p^rn', m = p^rm'