mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Μάιος 06, 2016 12:32 pm**

Μια άσκηση που σκάρωσα ψες:

Δίνεται η συνάρτηση

$\displaystyle{f(x)=x^3+\sin x,~x\in \mathbb{R}.}$

a) Να αποδείξετε ότι είναι αντιστρέψιμη.

b) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της $\displaystyle{f^{-1}.}$

c) Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τα κοίλα.

d) Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει σημείο $\displaystyle{(a,f(a))}$ της $\displaystyle{C_f}$ με $\displaystyle{a\ne 0,}$ ώστε η εφαπτομένη της $\displaystyle{C_f}$ στο σημείο αυτό να διέρχεται από το $\displaystyle{O(0,0).}$

e) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό $\displaystyle{\xi \in (0,1),}$ ώστε $\displaystyle{f'(\xi)=f(1)}$

f) Να αποδείξετε ότι το $\displaystyle{\xi}$ του προηγούμενου ερωτήματος βρίσκεται πλησιέστερα στο δεξιό άκρο του διαστήματος $\displaystyle{(0,1).}$

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Μάιος 06, 2016 5:25 pm**

a)

f'(x)=3x^2+cosx, f''(x)=6x-sinx,f'''(x)=6-cosx>0

οπότε :

είναι γνησίως αύξουσα
άρα :
$x\succ 0\rightarrow f''(x)\succ f''(0)=0, x\prec 0\rightarrow f''(x)\prec f''(0)=0$
επομένως f ‘

γν. φθίνουσα στο $(-\infty ,0]$ και γν. αύξουσα στο
$[0,+\infty )$ οπότε $\forall x\epsilon R: f'(x)\geq f'(0)=1$
Δηλαδή f γν. αύξουσα άρα και «1-1» οπότε f αντιστρέψιμη
b)

συνεχής και γν. αύξουσα επομένως
$A_{f^{-1}}=f(R)=(\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x),\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x))=R$ (εύκολα)
c) Από (a)

στρέφει τα κοίλα άνω στο $[0,+\infty )$ και στρέφει τα κοίλα κάτω στο $(-\infty,0]$
d) Για να διέρχεται η εφαπτομένη στο (a,f(a))

από

πρέπει να υπάρχει a: f(a)=af'(a)

.
Ονομάζω
$g(x)=f(x)-xf'(x)=x^3+sinx-3x^3-xcosx=-2x^3+sinx-xcosx, g'(x)=-6x^2+cosx-cosx+xsinx=-6x^2+xsinx=x(sinx-x-5x)\prec 0$ για x>0

διότι

για x>0 είναι
$\left | sinx \right |\prec \left | x \right |=x\Leftrightarrow -x\prec sinx\prec x\Rightarrow sinx-x\prec 0$ επομένως για x>0

είναι

γνησίως φθίνουσα για $x\succ 0\Rightarrow g(x)\prec g(0) =0$
για x>0

είναι $g(x) \neq 0$ όμοια για x<0

είναι $g(x) \neq 0$ τελικά δεν υπάρχει $a\neq 0$ : η εφαπτομένη στο

να διέρχεται από O(0,0)

e,f) Αρκεί να δείξουμε ότι η εξίσωση
$f'(x)=f(1)\Leftrightarrow 3x^2+cosx-1-sin1=0$
έχει ακριβώς μια ρίζα στο (0, 1)

Ονομάζω

τότε
k συνεχής στο $[\frac{1}{2}, 1]$ και
$k(1) =2+cos1-sin1\succ 0$
και
$k(\frac{1}{2})=-\frac{1}{4}+cos\frac{1}{2}-sin1\prec 0$ (#)
τότε από θεώρημα Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον $\xi \epsilon (\frac{1}{2},1)$ άρα $\xi \epsilon (0,1)$

και για κάθε $x\epsilon (0,1)$ είναι
$k'(x)= 6x-sinx=5x+(x-sinx)\succ 0$ άρα

γνησίως αύξουσα επομένως ο
προηγούμενος ξ είναι μοναδικός στο (0, 1) και είναι πλησιέστερος στο1
(#)
$cos\frac{1}{2}-sin1=sin(\frac{\pi -1}{2})-sin1$
με ΘΜΤ για την συνάρτηση H(x)=sinx

στο διάστημα
$[1,\frac{\pi -1}{2}]$ προκύπτει ότι υπάρχει $t\epsilon (1,\frac{\pi -1}{2}): sin(\frac{\pi -1}{2})-sin1 =cost*(\frac{\pi-3}{2 })$
τότε
$-\frac{1}{4}+sin(\frac{\pi -1}{2})-sin1= cost*(\frac{\pi-3}{2 })-\frac{1}{4} \prec \frac{\pi-3}{2 }-\frac{1}{4} \prec 0$

Ευχαριστώ τον Γιώργο Ροδόπουλο (παρακάτω ανάρτηση) για την παρατήρησή του

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μάιος 07, 2016 12:39 am**

Γράφω τον υπολογισμό των ορίων που άφησε ο φίλος GMANS, στο 2ο ερώτημα.

Για κάθε $\displaystyle{x\in\mathbb{R}}$ έχουμε

$\displaystyle{-1\leq \sin\,x\leq 1\implies x^3-1\leq f(x)\leq x^3+1}$ .

Από το γεγονός ότι $\displaystyle{f(x)\geq x^3-1\,,x\in\mathbb{R}}$ και το γεγονός ότι $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}(x^3-1)=+\infty}$ ,

έπεται ότι $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty}$ , ενώ

από το γεγονός ότι $\displaystyle{f(x)\leq x^3+1\,,x\in\mathbb{R}}$ και το γεγονός ότι $\displaystyle{\lim_{x\to -\infty}(x^3+1)=-\infty}$ ,

έπεται ότι $\displaystyle{\lim_{x\to -\infty}f(x)=-\infty}$ .

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μάιος 07, 2016 2:53 pm**

Όσον αφορά τα δύο τελευταία ερωτήματα θα μπορούσαμε να πούμε και το εξής:

Το e) είναι άμεση συνέπεια του Θεωρήματος Μέσης Τιμής για την $\displaystyle{f}$ στο $\displaystyle{[0,1].}$

Άρα υπάρχει $\displaystyle{\xi \in (0,1),}$ ώστε $\displaystyle{3\xi ^2+\cos \xi=1+\sin 1.}$

Αυτή γράφεται και ως

$\displaystyle{3\xi ^2-\sin 1=1-\cos \xi.}$

Επομένως, είναι φανερό ότι $\displaystyle{3\xi ^2-\sin 1>0\implies \xi >\sqrt{\frac{\sin 1}{3}}.}$

Αρκεί τώρα να αποδειχθεί ότι

$\displaystyle{\sqrt{\frac{\sin 1}{3}}>\frac{1}{2},}$ δηλαδή ότι $\displaystyle{\sin 1>\frac{3}{4}.}$

Αυτό είναι άμεση συνέπεια της ανισότητας $\displaystyle{\sin x> x-\frac{x^3}{6}~~\forall x>0.}$ ( $\displaystyle{\color{red}\maltese }$ )

Βέβαια η επίκληση στην ( $\displaystyle{\color{red}\maltese }$ ) είναι ομολογουμένως ένα μελανό σημείο αυτής της απόδειξης.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μάιος 07, 2016 3:15 pm**

Και το πρώτο ερώτημα μπορεί να γίνει πιο απλά.

Για να δείξουμε ότι η δοθείσα είναι γνήσια αύξουσα μπορούμε να πούμε:

Είναι γνήσια αύξουσα στο $[0, +\infty )$ διότι έχει παράγωγο $3x^2+ \cos x$
η οποία α) είναι θετική στο $[0, 1] \subseteq [0, \pi /2]$ ως άθροισμα δύο θετικών και
β) είναι θετική στο $[1, +\infty )$ καθώς $3x^2+ \cos x \ge 3 \cdot 1 - 1 >0.$
Δηλαδή μέχρι τώρα ξέρουμε ότι είναι γνήσια αύξουσα στο $[0, +\infty )$ . Στο υπόλοιπο είναι γν. αύξουσα
καθώς είναι περιττή και το ζητούμενο έπεται από τα προηγούμενα.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μάιος 07, 2016 8:22 pm**

GMANS έγραψε: (#)
$cos\frac{1}{2}-sin1=sin(\frac{\pi -1}{2})-sin1$
με ΘΜΤ για την συνάρτηση στο διάστημα
$[1,\frac{\pi -1}{2}]$ προκύπτει ότι υπάρχει $t\epsilon (1,\frac{\pi -1}{2}): sin(\frac{\pi -1}{2})-sin1 =cost*(\frac{2}{3-\pi })\prec 0\Rightarrow -\frac{1}{4}+sin(\frac{\pi -1}{2})-sin1 \prec 0$

Γιώργο νομίζω ότι υπάρχει λάθος(στις πράξεις κατά την εφαρμογή του ΘΜΤ) .

$\displaystyle{0 < 1 < \frac{{\pi - 1}}{2} < \frac{\pi }{2} \Rightarrow \sin (1) < \sin \left( {\frac{{\pi - 1}}{2}} \right) \Rightarrow \sin \left( {\frac{{\pi - 1}}{2}} \right) - \sin (1) > 0}$

mathematica.gr

f(x)=x^3+sinx

f(x)=x^3+sinx

Re: f(x)=x^3+sinx

Re: f(x)=x^3+sinx

Re: f(x)=x^3+sinx

Re: f(x)=x^3+sinx

Re: f(x)=x^3+sinx