mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιουν 05, 2016 6:28 pm**

Να βρείτε τις ακεραιες λύσεις της εξίσωσης $54x^{3}-1=y^{3}$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιουν 19, 2016 3:47 pm**

JimNt. έγραψε:Να βρείτε τις ακεραιες λύσεις της εξίσωσης $54x^{3}-1=y^{3}$

Επαναφορά, αν και δεν μου φαίνεται τόσο για junior...

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιουν 19, 2016 3:52 pm**

Να δώσω λύση;

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιουν 19, 2016 3:58 pm**

Όχι, άφησε την μία δύο μέρες ακόμη.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιουν 20, 2016 8:39 am**

Εξαρτάται το πόσο εύκολη βλέπεις την εξίσωση Fermat βαθμού

...

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιουν 20, 2016 10:08 am**

Αρχιμήδης 6 έγραψε:Εξαρτάται το πόσο εύκολη βλέπεις την εξίσωση Fermat βαθμού ...

Εγω την έλυσα με modulo στο δεύτερο μέλος.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιουν 20, 2016 10:54 am**

Βάλε την λύση σου αν θες.Θα δώσω και την δική μου.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιουν 20, 2016 11:21 am**

Διακρίνουμε τρεις περιπτώσεις για το αριστερό μέλος.

$y^{3} \equiv 0 (mod3)$ $\Leftrightarrow$ $54x^{3}-1\equiv 0 (mod3)$ άτοπο (αφού $54x^{3} \equiv 0 (mod3)$ .

$y^{3} \equiv 1 (mod3)$ $\Leftrightarrow$ $54x^{3}-1\equiv 1 (mod3)$ , άτοπο (αφού $54x^{3}-1 \equiv -1 (mod3)$

$y^{3} \equiv 2/-1(mod3)$ $\Leftrightarrow$ $54x^{3}-1\equiv 2/-1(mod3)$ , που ισχύει. Συνεπώς, η αρχική μπορεί να γραφτεί:
$54x^{3}-1=(3k-1)^{3}$ , όπου $k\in\mathbb {Z}$ . Για x=k

, παίρνουμε x=k=0

, που δίνει το ζεύγος (x,y)=(0,-1)

Θα αποδείξω ότι είναι η μοναδική λύση:
Από FLT $(3k-1)^{3} \equiv 3k-1 (mod3)$ $\Leftrightarrow$ $54x^{3} -1 \equiv 3k-1 (mod3)$ . Αφού όμως είναι $54x^{3} -1 \equiv -1 (mod3)$ έπεται ότι 3k-1 = -1

ή

. (Και έτσι προκύπτει το ζεύγος που ήδη βρήκαμε). (Βασικά το τελευταίο είναι λάθος

.Δεν μπορώ να αποδείξω πως είναι η μοναδική.)

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιουν 20, 2016 11:44 am**

Καλή προσπάθεια Δημήτρη αλλά δεν θα μας ξεφύγει η εξίσωση...

Θα δώσω την λύση μου με διοφαντική ανάλυση.Στο τελευταίο βήμα μου θα θεωρήσω γνωστώ τις λύσεις της κυβικής εξίσωσης του Fermat.(από κινητό).

54x^3=y^3+1

Ουσιαστικά είναι η μια περίπτωση της 2a^3=b^3+1

δηλαδή για b=2mod3

Θα υπάρχουν k,l

ώστε

,

(Αυτό γιατί η μέγιστη δύναμη του

πού διαιρεί την x^2-x+1

είναι

και είναι περιττός αριθμός.)

Μετά από αντικατάσταση του

τελικά θα έχω

3(6k^3)^2-3(6k^3)+1=l^3

οπότε ας θέσω

6k^3=m

άρα η τελευταία θα γίνει

3m^2-3m+1=l^3

οπότε εύκολα βλέπω ότι η αρχική εξίσωση έχει μόνο τετριμμένες λύσεις...

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιουν 20, 2016 1:57 pm**

JimNt. έγραψε:
Αρχιμήδης 6 έγραψε:Εξαρτάται το πόσο εύκολη βλέπεις την εξίσωση Fermat βαθμού ...
Εγω την έλυσα με modulo στο δεύτερο μέλος.

Όταν υπάρχει τουλάχιστον μία αλλά πεπερασμένος αριθμός λύσεων τότε συνήθως δεν μπορούμε να λύσουμε την διοφαντική χρησιμοποιώντας μόνο (πεπερασμένο πλήθος από) modulo.

Αν π.χ. στο συγκεκριμένο πρόβλημα δουλέψουμε modulo 3 και modulo 4 τότε σίγουρα δεν μπορούμε να απορρίψουμε την περίπτωση $x \equiv 0 \bmod 12$ (αφού η (0,1)