mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιουν 09, 2016 5:05 pm**

Η πρώτη Λυκείου τελείωσε και πάμε για την δευτέρα. Πόσοι άραγε μαθητές μας που έγραψαν πάνω από 18 μπορούν να λύσουν αυτή την άσκηση ; Δικός μου -είμαι σίγουρος-κανένας !

ΑΣΚΗΣΗ

Δίνονται οι αριθμοί a=999...99

,με

- ψηφία και b=333...333

με

- ψηφία .

Να αποδειχθεί ότι ο αριθμός $\sqrt {a+6b+4}$ είναι ρητός και μάλιστα φυσικός.

Μπ

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιουν 09, 2016 5:39 pm**

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Η πρώτη Λυκείου τελείωσε και πάμε για την δευτέρα. Πόσοι άραγε μαθητές μας που έγραψαν πάνω από 18 μπορούν να λύσουν αυτή την άσκηση ; Δικός μου -είμαι σίγουρος-κανένας !

ΑΣΚΗΣΗ

Δίνονται οι αριθμοί ,με - ψηφία και με - ψηφία .

Να αποδειχθεί ότι ο αριθμός $\sqrt {a+6b+4}$ είναι ρητός και μάλιστα φυσικός.

Μπ

Ο αριθμός

γράφεται (όπου τελίτσες,

σε πλήθος)

$99...9 \cdot 10^{2n}+99...9+2 \cdot 3 \cdot 33...3 +4 =$

$= 99...9 \cdot 10^{2n} + 3 \cdot 99...9+4 =$

$=99...9 \cdot 10^{2n}-99...9 +4 \cdot 99...9+4=$

$= 99...9 (10^{2n}-1)+4 \cdot 99...9+4=$

$=99...9^{2}+4 \cdot 99...9+4=$

$= (99...9+2)^{2}$

Άρα $\sqrt{a+6b+4}=99...9+2 \in N$

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιουν 09, 2016 6:24 pm**

Είναι $\displaystyle{a = {10^{4n}} - 1}$ και $\displaystyle{b = \frac{1}{3}\left( {{{10}^{2n}} - 1} \right),}$ οπότε

$\displaystyle{a + 6b + 4 = {10^{4n}} - 1 + 2\left( {{{10}^{2n}} - 1} \right) + 4 = {10^{4n}} + 2 \cdot {10^{2n}} + 1 = {\left( {{{10}^{2n}} + 1} \right)^2}}$

και άρα

$\displaystyle{\sqrt {a + 6b + 4} = {10^{2n}} + 1 = 1\underbrace {00 \ldots 0}_{2n - 1}1.}$

mathematica.gr

Ρητός αριθμός !

Ρητός αριθμός !

Re: Ρητός αριθμός !

Re: Ρητός αριθμός !